MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 29. jun 2021.
20. zadatak

Pozdrav,

zadatak glasi ovako:

'Broj članova razvoja [inlmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]6\right)^n[/inlmath] koji su prirodni brojevi je [inlmath]35[/inlmath], a broj svih članova je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Broj iracionalnih članova ovog razvoja je:'

Resenje je: [inlmath]175[/inlmath]

Mnogo me muci postavljanje samog uslova za ovakav zadatak, probao sam razne ideje kao da stavim da mi je [inlmath]n=35[/inlmath] pa da napravim neki polu niz medjutim nisam dobio nista pametno. Zaglavljen sam na samom pocetku zadatka, svaka vrsta pomoci makar kako da ga krenem bi bila super. Hvala unapred.

Pozdrav, ne znam da li postoji laksi nacin za resavanje ovog zadatka, ali ja sam ga resio ovako:
Prvo cemo ispisati binomnu formulu
[dispmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]6\right)^n={n\choose k}\cdot2^{(n-k)/2}\cdot6^{k/3}[/dispmath] U tekstu zadatka pise da nam je broj clanova deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Kako [inlmath]k[/inlmath] krece od nule i ide do [inlmath]n[/inlmath], clanova imamo [inlmath]n+1[/inlmath]. Znaci [inlmath]n+1[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Takodje je dat broj prirodnih, u ovom slucaju racionalnih clanova razvoja. To nam govori da je zbir brojeva koji zadovoljavaju uslov da [inlmath]n-k[/inlmath] bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], i da [inlmath]k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], jednak [inlmath]35[/inlmath].
Moguce opcije za [inlmath]k[/inlmath] su kao u svakom razvoju [inlmath]k\in\{0,1,2,3,4,\ldots,n\}[/inlmath]. Kada ostavimo brojeve deljive samo sa [inlmath]3[/inlmath] dobicemo [inlmath]k\in\{0,3,6,9,\ldots,n\}[/inlmath].
Posto je broj racionalnih clanova [inlmath]35[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] mora da bude jednak ili veci od tog broja. Takodje, drzimo na umu da [inlmath]n+1[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Znaci [inlmath]n\in\{35,41,47,\ldots\}[/inlmath]
Ako uzmemo u obzir da [inlmath]n-k[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], a opcije za [inlmath]n[/inlmath] su ocigledno samo neparni brojevi, to znaci da [inlmath]k[/inlmath] takodje treba da bude neparan. Ubacujuci i taj uslov u moguce opcije za [inlmath]k[/inlmath] i dobijamo [inlmath]k\in\{3,9,15,21,\ldots\}[/inlmath]

Da bi dobili poslednji racionalan koeficijent u ovom razvoju, mozemo gledati moguce opcije za [inlmath]k[/inlmath] kao aritmeticki niz gde je pocetna vrednost [inlmath]3[/inlmath], a [inlmath]d=6[/inlmath], i trazimo [inlmath]35.[/inlmath] clan tog niza.
Ubacujuci formulu za clan aritmetickog niza dobijamo [inlmath]a_{35}=(35-1)\cdot6+3=207[/inlmath]. Sledeci racionalni koeficijent bi nam bio [inlmath]213[/inlmath], tako da znamo da [inlmath]n[/inlmath] mora biti manji od [inlmath]213[/inlmath] i veci ili jednak [inlmath]207[/inlmath]. To nas ostavlja sa mogucim slucajevima za [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n\in\{207,209,211\}[/inlmath]. Prisecajuci se uslova da [inlmath]n+1[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], ostaje nam jedino [inlmath]n=209[/inlmath]. Znaci, imamo [inlmath]210[/inlmath] clanova niza, od kojih su [inlmath]35[/inlmath] racionalni. Dakle, imamo [inlmath]210-35=175[/inlmath] iracionalnih clanova.
Ako jos uvek imas poteskoca oko zadatka, slobodno pitaj.