MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
19. zadatak

Petocifrenih brojeva oblika [inlmath]\overline{a3cd2}[/inlmath] koji su deljivi sa [inlmath]4[/inlmath] i čije su sve cifre različite ima:
Tačan odgovor je [inlmath]144[/inlmath].

Pošto su cifre [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] već iskorišćene, ostaju: [inlmath]\{0,1,4,5,6,7,8,9\}[/inlmath], odnosno [inlmath]8[/inlmath] cifara.

Da bi broj bio deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], pretposlednja cifra mora biti neparna, znači [inlmath]d\in\{1,5,7,9\}[/inlmath].
[inlmath]a[/inlmath] ne sme biti nula, pa [inlmath]a\in\{1,4,5,6,7,8,9\}[/inlmath], i [inlmath]c\in\{0,1,4,5,6,7,8,9\}[/inlmath]

E sad, ja sam rešavao zadatak na sledeći način (koji očigledno nije ispravan):
[inlmath]c[/inlmath] može imati [inlmath]8[/inlmath] vrednosti, [inlmath]d[/inlmath] može imati [inlmath]4[/inlmath], i onda ostaje [inlmath]6[/inlmath] cifara, koje sve mogu biti [inlmath]a[/inlmath].
Znači [inlmath]A=8\cdot4\cdot6=192[/inlmath]
Kombinatorika mi je izuzetno kritična i pokušavam da shvatim bar neke osnove pre prijemnog
BTW, preporučujem da uvedete neki shortcut za InlineMath, naporno je svaki put koristiti miš.
Hvala

Dobro si krenuo da razmišljaš. I dobro si primetio da kada iskoristiš po jednu cifru za [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath], nemaš više [inlmath]8[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]a[/inlmath], nego "samo" [inlmath]6[/inlmath].

Greška je u redosledu kojim si birao cifre. Krećemo od [inlmath]d[/inlmath] pošto tu imamo najmanje mogućnosti, i možemo da biramo cifru na [inlmath]4[/inlmath] različita načina. Kada izaberemo cifru [inlmath]d[/inlmath] koliko nam mogućnosti ostaje za [inlmath]a[/inlmath]? A kada izaberemo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath], koliko mogućnosti imamo za [inlmath]c[/inlmath]?

Ovo bi bio najjednostavniji put. Naravno, tačno rešenje bi mogao da dobiješ i ako kreneš od bilo kod slova/cifre. Na primer, krenemo od [inlmath]a[/inlmath]. Tada bi morao odvojeno da analiziraš slučajeve kada je [inlmath]a[/inlmath] parno (tada postoje [inlmath]4[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]d[/inlmath]) i kada je neparno (tada postoje tri mogućnosti za [inlmath]d[/inlmath]), pa se onda nadoveže [inlmath]0[/inlmath] kao moguća cifra za [inlmath]c[/inlmath]... Nepotrebno komplikovanje, ali bi svakako na kraju dalo tačan rezultat.