MATEMANIJA

Dobar dan, treba mi mala pomoć pri razumjevanju rješenja jednog zadatka. On glasi ovako:

Na koliko načina se iz kompleta koji sadrži [inlmath]32[/inlmath] različite karte (po [inlmath]8[/inlmath] karata u [inlmath]4[/inlmath] različite boje) može izabrati [inlmath]6[/inlmath] karata, tako da među izabranim kartama bude bar jedna karta iz svake od [inlmath]4[/inlmath] boje?

E sad, ja sam išla ovom logikom:
Prvo odaberem jednu boju i onda imam [inlmath]8[/inlmath] mogućnosti ([inlmath]1[/inlmath] boja [inlmath]=8[/inlmath] karata), pa onda odaberem drugu boju, pa opet imam [inlmath]8[/inlmath] mogućnosti i tako za sve [inlmath]4[/inlmath] boje. Sad mi ostalo [inlmath]28[/inlmath] karata, a pošto sam ispunila uslov, nije bitno koje su boje preostale [inlmath]2[/inlmath] karte pa se one mogu izabrati na [inlmath]28\choose2[/inlmath] načina.
U prevodu:
[dispmath]8^4 {28\choose 2}[/dispmath] Međutim, to izgleda nije tačno.

U riješenju su samo (bez objašnjenja) napisali ovaj izraz:
[dispmath]4{8\choose3}8^3+{4\choose2}{8\choose2}8^2=68096[/dispmath] (izvinjavam se ako nešto ne valja u formuli, prvi put ovo koristim)
Može li mi neko objasniti kojom su logikom oni išli? Da li možda postoji neki drugi način da se ovaj zadatak riješi?
Hvala unaprijed

Pozdrav, dobro došla na forum.

nadja je napisao:E sad, ja sam išla ovom logikom:
Prvo odaberem jednu boju i onda imam [inlmath]8[/inlmath] mogućnosti ([inlmath]1[/inlmath] boja [inlmath]=8[/inlmath] karata), pa onda odaberem drugu boju, pa opet imam [inlmath]8[/inlmath] mogućnosti i tako za sve [inlmath]4[/inlmath] boje. Sad mi ostalo [inlmath]28[/inlmath] karata, a pošto sam ispunila uslov, nije bitno koje su boje preostale [inlmath]2[/inlmath] karte pa se one mogu izabrati na [inlmath]28\choose2[/inlmath] načina.

Ovde je greška u tome što se jedna ista situacija može računati više puta.
Npr. neka su prve četiri karte za koje smo vodili računa da budu sve u različitim bojama bile [inlmath]6♠[/inlmath], [inlmath]3♦[/inlmath], [inlmath]1♥[/inlmath] i [inlmath]3♣[/inlmath]. Zatim odaberemo preostale dve karte i neka to budu [inlmath]5♥[/inlmath] i [inlmath]8♠[/inlmath]. To je jedna mogućnost.
Međutim, do iste kombinacije bismo došli i da smo kao prve četiri karte koje moraju biti različitih boja odabrali [inlmath]3♦[/inlmath], [inlmath]8♠[/inlmath], [inlmath]3♣[/inlmath] i [inlmath]5♥[/inlmath], a zatim kao preostale dve odabrali još i [inlmath]1♥[/inlmath] i [inlmath]6♠[/inlmath].
Dakle, u oba slučaja imali bismo [inlmath]6♠[/inlmath], [inlmath]3♦[/inlmath], [inlmath]1♥[/inlmath], [inlmath]3♣[/inlmath], [inlmath]5♥[/inlmath] i [inlmath]8♠[/inlmath], prema tome, to je zapravo jedan isti slučaj, a mi bismo ga, radeći na ovaj način, pogrešno računali kao dva različita slučaja.
Zato je i rezultat koji se dobije na ovaj (pogrešan) način višestruko veći od tačnog rezultata.

nadja je napisao:U riješenju su samo (bez objašnjenja) napisali ovaj izraz:
[dispmath]4{8\choose3}8^3+{4\choose2}{8\choose2}8^2=68096[/dispmath]

Izraz bi zapravo trebalo da glasi [inlmath]4{8\choose3}8^3+{4\choose2}{8\choose2}^{\color{red}2}8^2[/inlmath].
Princip je taj da, ako imamo [inlmath]6[/inlmath] karata a među njima mora biti bar jedna od svake boje, to znači ili da se jedna boja pojavljuje tri puta a preostale tri boje po jednom, ili da se dve boje pojavljuju dvaput a preostale dve boje po jednom.

• Prvi sabirak u gornjem izrazu, [inlmath]4{8\choose3}8^3[/inlmath], odnosi se na slučaj da se jedna boja pojavljuje tri puta a preostale tri boje po jednom. Tu boju koja se pojavljuje tri puta možemo odabrati na [inlmath]4[/inlmath] načina (otuda ona četvorka u tom sabirku), zatim od ukupno [inlmath]8[/inlmath] karata u toj boji mi odabiramo [inlmath]3[/inlmath] karte (otuda [inlmath]8\choose3[/inlmath]), a za svaku od preostalih boja odabiramo po jednu od ukupno [inlmath]8[/inlmath] karata u svakoj od tih boja (otuda [inlmath]8^3[/inlmath]).
• Drugi sabirak u gornjem izrazu, [inlmath]{4\choose2}{8\choose2}^28^2[/inlmath], odnosi se na slučaj da se dve boje pojavljuju dvaput a preostale dve boje po jednom. Te dve boje koje se pojavljuju dvaput možemo odabrati na [inlmath]4\choose2[/inlmath] načina (otuda [inlmath]4\choose2[/inlmath] u tom sabirku), zatim za svaku od te dve boje koje se pojavljuju dvaput, mi od ukupno [inlmath]8[/inlmath] karata odabiramo [inlmath]2[/inlmath] karte, kako za jednu tako isto i za drugu boju (otuda [inlmath]{8\choose2}^2[/inlmath]), a za svaku od preostale dve boje odabiramo po jednu od ukupno [inlmath]8[/inlmath] karata u svakoj od te dve boje (otuda [inlmath]8^2[/inlmath]).

---

Nego, buni me ovaj rezultat [inlmath]68096[/inlmath] koji si napisala. Ta vrednost se ne dobije ni kad se izračuna [inlmath]4{8\choose3}8^3+{4\choose2}{8\choose2}8^2[/inlmath] (bez kvadrata), ni kad se izračuna [inlmath]4{8\choose3}8^3+{4\choose2}{8\choose2}^{\color{red}2}8^2[/inlmath] (sa kvadratom).

Hvala na objašnjenju. Što se tiče rezulata provjerila sam još jednom i dobro sam prepisala rezultat i izraz. Izgleda da je greška u knjizi. U pitanju je knjiga "Kombinatorika", autor je Dr Pavle Mladenović, izdanje iz '89. Pozdrav i hvala još jednom!