MATEMANIJA

Zdravo,
Nije mi bio baš najjasniji postupak sledećeg zadatka:
Koliko ima sedmocifrenih brojeva koji se mogu zapisati pomoću cifara [inlmath]1,1,2,2,3,4,5[/inlmath] tako da dve iste cifre ne budu jedna do druge?
Rešenje: [inlmath]660[/inlmath]

Bez uslova (uključena mogućnost da dve iste cifre budu jedna do druge), to bi mogli da uradimo na [inlmath]\frac{7!}{4}[/inlmath] tj. na [inlmath]1260[/inlmath] načina.

E sad, prva mogućnost je da [inlmath]11[/inlmath] gledamo kao jednu cifru i tu posmatramo slučaj kada su one jedna pored druge. Ovde imamo [inlmath]\frac{6!}{2!}[/inlmath] tj. [inlmath]360[/inlmath] mogućnosti.

Analogno tome, drugi slučaj je da [inlmath]22[/inlmath] posmatramo kao jedan broj, i tu takođe imamo [inlmath]360[/inlmath] mogućnosti.

Do ovde mi je bilo jasno. E sad, finalni korak je taj da se [inlmath]11[/inlmath] i [inlmath]22[/inlmath] nalaze jedno pored drugog. Tu imamo [inlmath]5![/inlmath] tj. [inlmath]120[/inlmath] mogućnosti.

Nije mi bilo jasno zbog čega smo sabirali [inlmath]120[/inlmath] a ne oduzeli? Prema mom načinu, bilo bi [inlmath]1260-(2\cdot360+120)[/inlmath] tj. [inlmath]420[/inlmath] mogućnosti.

Pozdrav,
Evo mog razmišljanja. Brojevi koji imaju u svom dekadnom zapisu niz [inlmath]1122[/inlmath] su "oduzeti" u oba slučaja - i prilikom slučaja da su zajedno [inlmath]11[/inlmath] i prilikom slučaja kada su dve dvojke jedna pored druge. Takvih brojeva ima [inlmath]120[/inlmath], pa ih je neophodno oduzeti samo jednom.

Da ne ostanem nedorečen, sve navedeno u prethodnom postu se postiže dodavanjem [inlmath]120[/inlmath], tako da rešenje glasi [inlmath]1260-720+120=660[/inlmath].

Da dopunim Miladinov odgovor – opisani postupak zove se princip uključenja i isključenja.
Najlakše je to uočiti na primeru skupova – broj elemenata unije skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] dobija se kao [inlmath]|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|[/inlmath], jer smo sabiranjem [inlmath]|A|[/inlmath] i [inlmath]|B|[/inlmath] zapravo dvaput sabrali [inlmath]|A\cap B|[/inlmath] (zamisli ili nacrtaj Venov dijagram), pa ga zato na kraju jedanput oduzmemo.
Na sličan način, broj elemenata unije skupova [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] dobijamo kao [inlmath]|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|[/inlmath].

U ovom zadatku, oduzimajući slučajeve u kojima su jedinice jedna do druge, jedan od mogućih slučajeva bio bi npr. [inlmath]4225113[/inlmath]. Međutim, isti taj slučaj pojaviće se i pri oduzimanju slučajeva u kojima su dve dvojke jedna do druge. Prema tome, taj slučaj smo oduzeli dvaput. I ne samo njega, već sve slučajeve u kojima su i jedinice jedna do druge, i dvojke jedna do druge. Zbog toga sada treba na dobijeni rezultat dodati broj takvih slučajeva ([inlmath]5![/inlmath]).