MATEMANIJA

U razredu sa [inlmath]20[/inlmath] učenika na svakih mesec dana se biraju predsednik, sekretar i blagajnik (svaku od funkcija obavlja tačno jedan učenik). Ako se tokom školske godine održi osam ovakvih izbora i prilikom svakog biranja rukovodstva razreda učestvuje svih [inlmath]20[/inlmath] učenika, odrediti ukupan broj ishoda na izborima u toku jedne školske godine.

Rešenje: [inlmath](20\cdot19\cdot18)^8[/inlmath]

Deo koji sam shvatio:
Predsednika možemo izabrati na [inlmath]20[/inlmath], blagajnika na [inlmath]19[/inlmath], a sekretara na [inlmath]18[/inlmath] načina. E sad, moje rešenje je [inlmath]8\cdot20\cdot19\cdot18[/inlmath]. Nije mi najjasnije što ide na [inlmath]8.[/inlmath] stepen umesto da samo pomnožimo [inlmath]8[/inlmath] puta jer se toliko puta održi u toku godine.

Citiraću definiciju koju je Daniel napisao u odličnom postu o kombinatorici koji možeš pronaći ovde.

Daniel je napisao:Varijacije s ponavljanjem od [inlmath]n[/inlmath] elemenata [inlmath]k[/inlmath]-te klase predstavljaju načine na koje iz skupa od [inlmath]n[/inlmath] elemenata možemo [inlmath]k[/inlmath] puta birati po jedan element, pri čemu je moguće da neki elementi budu izabrani i više puta i pri čemu je bitan redosled odabira.

Dakle, na mesto predsednika konkurišu svih [inlmath]20[/inlmath] učenika. Kako se izbori obavljaju [inlmath]8[/inlmath] puta u toku školske godine, ukupan broj ishoda za mesto predsednika je [inlmath]20^8[/inlmath].

Slično važi i za mesto sekretara i blagajnika, te je konačno rešenje [inlmath]20^8\cdot19^8\cdot18^8=(20\cdot 19\cdot18)^8[/inlmath].

Sad je u potpunosti jasno, hvala puno!

Drugi način razmišljanja bio bi: Na prvim izborima broj mogućih ishoda je [inlmath]20\cdot19\cdot18[/inlmath].
Za svaki od tih ishoda, broj mogućih ishoda za naredni, drugi mesec bio bi opet [inlmath]20\cdot19\cdot18[/inlmath] (ista priča kao u ovom postu). Znači, broj mogućih ishoda za prva dva izbora bio bi [inlmath](20\cdot19\cdot18)(20\cdot19\cdot18)[/inlmath].
Sada, za svaki od tih ishoda prva dva izbora, imamo opet [inlmath]20\cdot19\cdot18[/inlmath] mogućnosti za ishod trećih izbora, prema tome, za prva tri izbora broj mogućih ishoda bi bio [inlmath](20\cdot19\cdot18)(20\cdot19\cdot18)(20\cdot19\cdot18)[/inlmath].
Itd. do osmih izbora...