MATEMANIJA

Koliko ima sedmocifrenih brojeva u čijem dekadnom zapisu se ne pojavljuju cifre [inlmath]0,4,8[/inlmath], deljivi su sa [inlmath]4[/inlmath] i svake dve susedne cifre su međusobno različite: Rešenje: [inlmath]6^5\cdot10[/inlmath]

Kod ovog zadatka mi nije bio jasan jedan deo te ću njega i priložiti, bez celokupnog postupka:
Broj je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] ukoliko su poslednje [inlmath]2[/inlmath] cifre nekog broja deljive sa [inlmath]4[/inlmath].
Uzmimo za primer broj [inlmath]12[/inlmath]. Ako su poslednje [inlmath]2[/inlmath] cifre [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] (a cifre mogu da se ponavljaju),
zbog čega bi bila greška da na prvih [inlmath]5[/inlmath] mesta bude [inlmath]7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7[/inlmath] mogućnosti da izaberemo cifre jer nam je [inlmath]7[/inlmath] ostalo na raspolaganju a ne [inlmath]6[/inlmath]. Naravno, nisam isključio uslov da svake dve susedne cifre moraju biti različite.

Kako si zaključio, zbog deljivosti traženih brojeva sa [inlmath]4[/inlmath], cifre na [inlmath]6[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath] mestu (desetice i jedinice) su: [inlmath]12,16,32,36,52,56,72,76,92,96[/inlmath]; to je [inlmath]10[/inlmath] mogućnosti. Cifra na [inlmath]5[/inlmath]-oj poziciji različita je od [inlmath]0,4,8[/inlmath] i cifre na šestoj poziciji; to je [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]5[/inlmath]-tu poziciju. Isto vredi i za sve ostale pozicije.

Za [inlmath]6.[/inlmath] i [inlmath]7.[/inlmath] mesto možemo računati i bez nabrajanja mogućnosti, ako uočimo da će broj biti deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] kada je:

• poslednja cifra deljiva sa [inlmath]4[/inlmath] a pretposlednja cifra parna (jer je [inlmath]10\cdot2m+4n[/inlmath] deljivo sa [inlmath]4[/inlmath]) – primer: [inlmath]28[/inlmath];
• poslednja cifra parna i nije deljiva sa [inlmath]4[/inlmath], a pretposlednja cifra neparna (jer je [inlmath]10(2m+1)+(4n+2)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]4[/inlmath] – primer: [inlmath]32[/inlmath].

Tada je broj mogućnosti za poslednju cifru jednak [inlmath]2[/inlmath] jer su su od parnih cifara na raspolaganju samo [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath], a pošto nijedna od te dve nije deljiva sa [inlmath]4[/inlmath], cifra na pretposlednjem mestu mora biti neparna, za šta imamo [inlmath]5[/inlmath] mogućnosti. Dakle, kupno [inlmath]2\cdot5[/inlmath] mogućnosti za poslednje dve cifre.