MATEMANIJA

Odrediti koeficijent koji se nalazi uz [inlmath]x^7[/inlmath] u razvoju izraza [inlmath]\left(x^2-\frac{2}{x}\right)^n[/inlmath] ako je zbir koeficijenata uz prva [inlmath]3[/inlmath] člana razvoja [inlmath]97[/inlmath].

Rešenje: [inlmath]k=3[/inlmath]

Kad razvijem izraz, dobijam:
[dispmath]T_{k+1}={n\choose k}(-2)^kx^{2n-3k}[/dispmath] E sad, kad sam krenuo da radim drugi deo zadatka:
[dispmath]{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}=97[/dispmath] Dobija se kvadratna j-na: [inlmath]n^2+n-192=0[/inlmath] za koju se ne dobija celobrojna vrednost za [inlmath]n[/inlmath]. Onda me je zbunilo zbog čega su u rešenju stavili ovako:
[dispmath]{n\choose0}(-2)^0+{n\choose1}(-2)^1+{n\choose2}(-2)^2=97[/dispmath] (odakle se dobija celobrojna vrednost za [inlmath]n[/inlmath] i sam član [inlmath]k[/inlmath])
Što je bila greška u mom postupku za razliku od njihovog, i zbog čega su baš stavili [inlmath]-2[/inlmath], a ne npr [inlmath]x^{2n-3k}[/inlmath]. Takođe bi bio drugačiji (i pogrešan) rezultat da sam [inlmath](-2)^k[/inlmath] zapisao kao [inlmath](-1)^k2^k[/inlmath] pa da onda to [inlmath]2^k[/inlmath] uvrstim u izraz.

Jesi li proverio da li tekst zadatka sigurno tako glasi?
Ovaj postupak bi imao smisla kada bi tekst glasio „...ako je zbir prva tri člana razvoja za [inlmath]x=1[/inlmath] jednak [inlmath]97[/inlmath]“.

Obrati pažnju da li se u zadatku spominje "zbir koeficijenata" ili "zbir binomnih koeficijenata". Prema tekstu koji si naveo, rešenje u zbirci je u redu.

Tačno, prevideh na nije rečeno binomnih. Hvala, @Fare.

Daniel je napisao:Jesi li proverio da li tekst zadatka sigurno tako glasi?

Da, da, baš je ovako glasio.
Znači kada se kaže "zbir koeficijenata" onda se uvrštava slobodni član, a na [inlmath]x[/inlmath] pa na određeni eksponent?

Znači, kad se [inlmath]\left(x^2-\frac{2}{x}\right)^n[/inlmath] razvije, dobije se
[dispmath]{n\choose0}x^{2n}-2{n\choose1}x^{2n-3}+4{n\choose2}x^{2n-6}-\cdots[/dispmath] Binomni koeficijenti u ovom razvoju su [inlmath]n\choose0[/inlmath], [inlmath]n\choose1[/inlmath], [inlmath]n\choose2[/inlmath],..., dok su koeficijenti uz članove [inlmath]n\choose0[/inlmath], [inlmath]-2{n\choose1}[/inlmath], [inlmath]4{n\choose2}[/inlmath],...

Jasno u potpunosti, hvala puno!