MATEMANIJA

U razvoju izraza [inlmath]\left(x\sqrt[4]{x^3}+\frac{\sqrt{x}}{x^2}\right)^n[/inlmath] koeficijenti uz peti i deseti član su jednaki. Odrediti član razvoja koji ne sadrži [inlmath]x[/inlmath].

Kod ovog zadatka mi samo nije bio jasan boldiran deo - Kada to zapišem u obliku:
[dispmath]{n\choose4}={n\choose9}[/dispmath] Kako bih odatle mogao da dobijem samo [inlmath]n[/inlmath]? Probao sam da primenim formulu da je [inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/inlmath], tj. [inlmath]{n\choose4}=\frac{n!}{4!(n-4)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots}{4!(n-4)!}[/inlmath]. Slično važi i za [inlmath]{n\choose9}[/inlmath]. Kad se izraz sredi;
[dispmath]9!(n-1)(n-2)(n-3)=4!(n-1)(n-2)\cdots(n-8)[/dispmath] Ali odavde nikako ne uspevam da rešim sam izraz.

Pa to kad skratiš, na levoj strani ti ostaje [inlmath]9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5[/inlmath], a na desnoj [inlmath](n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)[/inlmath]. Zar odatle nije očigledno koliko je [inlmath]n[/inlmath]?

---

A imaš i jednostavniji način, da iskoristiš identitet [inlmath]{n\choose k}={n\choose n-k}[/inlmath] koji zatim primeniš ili na levu, ili na desnu stranu jednačine [inlmath]{n\choose4}={n\choose9}[/inlmath]. Recimo na desnu: [inlmath]{n\choose4}={n\choose n-9}[/inlmath]. Odatle je jasno da mora biti [inlmath]4=n-9[/inlmath].

---

A treći način – pošto znaš da su vrednosti koeficijenata od prvog do poslednjeg člana razvoja simetrične, a koeficijenti uz peti i deseti član su jednaki, to znači da nakon desetog člana imaš isto onoliko članova koliko ih imaš i pre petog člana. Zatim odrediš [inlmath]n[/inlmath], imajući u vidu da je [inlmath]n[/inlmath] za jedan manje od broja članova...