MATEMANIJA

Pozdrav svima, imam problem oko dva zadataka.

1. Zadatak: Trocifrenih prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]4[/inlmath] kod kojih su cifre različiti elementi skupa [inlmath]\{0,1,2,3,4,5\}[/inlmath] ima:

Tačan odgovor je: [inlmath]40[/inlmath].

Tu sam radio tako što sam gledao koje dve poslednje cifre su deljive sa [inlmath]4[/inlmath] a da imaju nulu. I tu sam nabrojao: [inlmath]\{04,20,40\}[/inlmath].
I onda za prvu cifru možemo uzeti jednu od [inlmath]4[/inlmath] preostalih cifara i dobijemo: [inlmath]4\cdot3=12[/inlmath].

Onda sam u drugom delu gledao poslednje dve cifre deljive sa [inlmath]4[/inlmath] bez nule: [inlmath]\{12,24,32,44,52\}[/inlmath].
I tu sam racunao za prvu cifru da se može uzeti jedna od tri preostale cifre ili: [inlmath]5\cdot3=15[/inlmath].

I na kraju dobijem ukupno [inlmath]27[/inlmath] gde grešim.

---

2. Zadatak: Trocifrenih prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]3[/inlmath] kod kojih su sve cifre različite ima:

Tačan odgovor je: [inlmath]160[/inlmath].

Radio sam na sličan način kao prvi ali mi nije išlo.

Ako mi možete ukazati na grešku u prvom pa mislim da ću onda razumeti i kako ovaj drugi da uradim. Hvala unapred.

StefanV19 je napisao:Tačan odgovor je: [inlmath]40[/inlmath].

Ne, tačan odgovor je [inlmath]24[/inlmath].

StefanV19 je napisao:Onda sam u drugom delu gledao poslednje dve cifre deljive sa [inlmath]4[/inlmath] bez nule: [inlmath]\{12,24,32,{\color{red}44},52\}[/inlmath].

Uslov zadatka je da su sve cifre različite.

---

Pokazao bih još jedan način rešavanja – mada je i tvoj način podjednako dobar, štaviše i elegantniji, ali što više načina, to bolje – a i time se potvrđuje tačnost dobijenog rezultata.

• Broj počinje cifrom [inlmath]2[/inlmath]:
  Druga cifra ne može biti neparna jer bi tada treća cifra morala biti [inlmath]2[/inlmath], a ona je već iskorišćena. Dakle, za drugo mesto ostaju [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath]. Ako je na drugom mestu [inlmath]0[/inlmath], na trećem mora biti [inlmath]4[/inlmath]. I obratno. Znači, broj mogućnosti je [inlmath]2[/inlmath].
• Broj počinje cifrom [inlmath]4[/inlmath]:
  Druga cifra ne može biti [inlmath]0[/inlmath], jer bi tada treća morala biti [inlmath]4[/inlmath], a ona je već iskorišćena.
  Ako je druga cifra [inlmath]2[/inlmath], treća mora biti [inlmath]0[/inlmath] – jedna mogućnost.
  Ako je druga cifra [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath], treća mora biti [inlmath]2[/inlmath] – tri mogućnosti.
  Ukupan broj mogućnosti za ovaj slučaj je [inlmath]1+3=4[/inlmath].
• Broj počinje cifrom [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath]:
  Ako je druga cifra [inlmath]2[/inlmath], treća može biti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath] – dve mogućnosti.
  Ako je druga cifra [inlmath]0[/inlmath], treća mora biti [inlmath]4[/inlmath], i obratno – dve mogućnosti.
  Ako je druga cifra neka od preostalih neparnih koja nije na prvom mestu, tada treća cifra mora biti [inlmath]2[/inlmath] – dve mogućnosti.
  Ukupan broj mogućnosti za ovaj slučaj je, pomnoženo sa [inlmath]3[/inlmath] kao brojem mogućnosti za prvu cifru: [inlmath]3(2+2+2)=18[/inlmath].

Ukupno [inlmath]2+4+18=24[/inlmath] mogućnosti.

StefanV19 je napisao:2. Zadatak: Trocifrenih prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]3[/inlmath] kod kojih su sve cifre različite ima:

Tačan odgovor je: [inlmath]160[/inlmath].

A i ovo rešenje je pogrešno. Treba da se dobije [inlmath]228[/inlmath].
Sme li se znati koja je zbirka u pitanju, kad su od dva priložena rezultata, oba pogrešna?

U pitanju su zadaci sa sajta: https://mirjanaradovicsg.files.wordpres ... torika.pdf.
Nisu sva resenja pogrešna, ali ima grešaka u rešenjima.

Da li mi možete objasniti kako se rešava drugi zadatak kada su brojevi različiti i deljivi sa tri.
Razumeo sam deljive sa [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], pokušavao sam ovaj drugi, ali nisam dobio nijedno od traženih rešenja, Radio sam na sličan način kao prvi zadatak i dobio sam [inlmath]216[/inlmath].

A ponuđena rešenja u tom drugom zadatku su:
[inlmath]A)\;193\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;184\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;166\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;152\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{E)\;160}[/inlmath]

Video sam da ima još nekih pogrešnih rešenja. A šteta, zanimljivi su zadaci.

Ovo s brojevima deljivim sa [inlmath]3[/inlmath] možeš takođe raditi tako što razdvojiš slučajeve kad se nula pojavljuje i kad se nula ne pojavljuje.

Nula se ne pojavljuje:
Broj će biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] u sledećim slučajevima:

• Sve cifre su oblika [inlmath]3k[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Prvu cifru možemo odabrati na [inlmath]3[/inlmath] načina, za drugu nam preostaje [inlmath]2[/inlmath] mogućnosti, i za treću cifru jedna mogućnost – to je ukupno [inlmath]3\cdot2=6[/inlmath] mogućnosti (isto smo mogli zaključiti ako znamo da se među ciframa od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] nalaze [inlmath]3[/inlmath] cifre oblika [inlmath]3k[/inlmath], pa tražimo njihove permutacije).
• Sve cifre su oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Potpuno istim rezonom dobija se [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
• Sve cifre su oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Potpuno istim rezonom dobija se [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
• Cifre su oblika [inlmath]3k[/inlmath], [inlmath]3k+1[/inlmath] i [inlmath]3k+2[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Za prvu cifru biramo bilo koju ([inlmath]9[/inlmath] mogućnosti), za drugu nam preostaje [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti i za treću preostaje [inlmath]3[/inlmath] mogućnosti – ukupno [inlmath]9\cdot6\cdot3=162[/inlmath] mogućnosti.

To je ukupno [inlmath]6+6+6+162=180[/inlmath] mogućnosti za ovaj slučaj.

Nula se pojavljuje (na drugoj ili na trećoj poziciji):

• Obe nenulte cifre su oblika [inlmath]3k[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Prvu nenultnu cifru možemo odabrati na [inlmath]3[/inlmath] načina, a za drugu nam preostaje [inlmath]2[/inlmath] načina, što predstavlja [inlmath]3\cdot2=6[/inlmath] mogućnosti.
• Jedna nenulta cifra je oblika [inlmath]3k+1[/inlmath], a druga oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Prvu nenultu cifru možemo odabrati na [inlmath]6[/inlmath] načina (jer biramo bilo koju koja nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]), a drugu na [inlmath]3[/inlmath] načina, što predstavlja [inlmath]18[/inlmath] mogućnosti.

Ovaj zbir ([inlmath]6+18[/inlmath]) treba još pomnožiti sa [inlmath]2[/inlmath], jer se nula može pojaviti ili na drugoj ili na trećoj poziciji. Time se dobija [inlmath]48[/inlmath] mogućnosti.

Ukupan broj mogućnosti je, dakle, [inlmath]180+48=228[/inlmath] mogućnosti.