MATEMANIJA

1. Broj svih permutacija [inlmath]1,2,\ldots,9[/inlmath] u kojima je bar jedna od prve tri cifre deljiva sa [inlmath]3[/inlmath] jednak je:
2. Broj svih permutacija cifara [inlmath]1,2,\ldots,9[/inlmath] u kojima na prva [inlmath]4[/inlmath] mesta nema parnih brojeva jednak je:
3. Neka je broj [inlmath]n[/inlmath] broj sestocifrenih brojeva cije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,2,3,4,5,6\}[/inlmath] i koji imaju bar dve jednake cifre. Tada je [inlmath]n[/inlmath] jednako:

smAshh je napisao:1. Broj svih permutacija [inlmath]1,2,\ldots,9[/inlmath] u kojima je bar jedna od prve tri cifre deljiva sa [inlmath]3[/inlmath] jednak je:

Traženi broj permutacija dobićemo tako što od broja svih permutacija (a to je [inlmath]P_9=9![/inlmath]) oduzmemo broj onih permutacija kod kojih nijedna od prve tri cifre nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath].

Podskup datog skupa, čije cifre nisu deljive sa [inlmath]3[/inlmath], jeste [inlmath]\left\{1,2,4,5,7,8\right\}[/inlmath]. Taj podskup ima [inlmath]6[/inlmath] elemenata. Broj načina na koji se cifre koje nisu deljive sa [inlmath]3[/inlmath] mogu poređati na prva tri mesta predstavlja broj varijacija od [inlmath]6[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]V_6^3=\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=6\cdot5\cdot4=120[/dispmath]
Pošto su za prva tri mesta već iskorišćene tri cifre, za preostalih šest mesta preostaje šest cifara. Broj načina na koji se one mogu poređati predstavlja broj permutacija od [inlmath]6[/inlmath] elemenata bez ponavljanja, [inlmath]P_6=6!=720[/inlmath]

Skicirano, to bi izgledalo ovako:
[dispmath]\underbrace{XXX}_{\large V_6^3}\underbrace{YYYYYY}_{\large P_6}[/dispmath]
Cifre [inlmath]X[/inlmath] predstavljaju one cifre datog skupa koje nisu deljive sa [inlmath]3[/inlmath], a cifre [inlmath]Y[/inlmath] predstavljaju bilo koje cifre datog skupa.

Da bismo dobili broj načina na koji je moguće poređati svih [inlmath]9[/inlmath] cifara tako da nijedna od prve tri ne bude deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], treba da pomnožimo dobijeni broj varijacija (za cifre na prva tri mesta) i dobijeni broj permutacija (za cifre na preostalih šest mesta):
[dispmath]V_6^3\cdot P_6=120\cdot720=86400[/dispmath]
Kao što rekoh na početku, broj permutacija u kojima je bar jedna od prve tri cifre deljiva sa [inlmath]3[/inlmath] dobićemo tako što od broja svih permutacija oduzmemo broj permutacija u kojima nijedna od cifara na prva tri mesta nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]P_9-V_6^3\cdot P_6=9!-86400=362880-86400=276480[/dispmath]

---

Na isti princip se radi i [inlmath]2.[/inlmath] zadatak. Treba da se dobije [inlmath]14400[/inlmath].

smAshh je napisao:3. Neka je broj [inlmath]n[/inlmath] broj sestocifrenih brojeva cije cifre pripadaju skupu [inlmath]\{1,2,3,4,5,6\}[/inlmath] i koji imaju bar dve jednake cifre. Tada je [inlmath]n[/inlmath] jednako:

Broj šestocifrenih brojeva koji su sastavljeni od zadatih cifara a koji imaju bar dve jednake cifre dobićemo tako što od broja svih šestocifrenih brojeva sastavljenih od ovih cifara oduzmemo broj šestocifrenih brojeva sastavljenih od ovih cifara a kojima su sve cifre različite.

Broj svih šestocifrenih brojeva koji su sastavljeni od ovih cifara predstavlja broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]6[/inlmath] elemenata [inlmath]6.[/inlmath] klase: [inlmath]\overline{V_6^6}=6^6=46656[/inlmath]

Broj šestocifrenih brojeva koji su sastavljeni od ovih cifara a kojima su sve cifre različite predstavlja broj permutacija bez ponavljanja od [inlmath]6[/inlmath] elemenata: [inlmath]P_6=6!=720[/inlmath]

Prema tome, broj šestocifrenih brojeva koji su sastavljeni od zadatih cifara a koji imaju bar dve jednake cifre iznosi [inlmath]\overline{V_6^6}-P_6=46656-720=45936[/inlmath]

Po mom ukusu nešto lakši način da urade prva dva zadatka:

smAshh je napisao:1. Broj svih permutacija [inlmath]1,2,\ldots,9[/inlmath] u kojima je bar jedna od prve tri cifre deljiva sa [inlmath]3[/inlmath] jednak je:

Ukupan broj permutacija je [inlmath]9![/inlmath] Postoji [inlmath]6[/inlmath] cifara koje nisu deljive sa tri... One popunjuju prva tri mesta. Prvu možemo izabrati na [inlmath]6[/inlmath] načina, drugu na [inlmath]5[/inlmath] (jedna je iskorišćena), treću na [inlmath]4[/inlmath] (dve iskorišćene). Posle opet u obzir dolaze brojevi deljivi sa [inlmath]3[/inlmath]... Ukupno imamo [inlmath]6[/inlmath] brojeva u opticaju kao kandidate za [inlmath]6[/inlmath] mesta, možemo ih proizvoljno permutovati, što nam daje [inlmath]6![/inlmath] mogućnosti
Znači da je tražen broj:
[dispmath]x=9!-6\cdot5\cdot\cdot4\cdot6!=276480[/dispmath]

smAshh je napisao:2. Broj svih permutacija cifara [inlmath]1,2,\ldots,9[/inlmath] u kojima na prva [inlmath]4[/inlmath] mesta nema parnih brojeva jednak je:

Postoji pet neparnih cifara, pa za prvo mesto imamo baš toliko opcija, za drugo nam ostaje njih [inlmath]4[/inlmath], za treće [inlmath]3[/inlmath], za četvrto [inlmath]2[/inlmath]. Za preostalih pet mesta imamo još [inlmath]5[/inlmath] cifara, koje se mogu permutovati, pa je to [inlmath]5![/inlmath] mogućnosti, što daje ukupno:
[dispmath]x=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot5!=14400[/dispmath]

Upravo su na taj način i izvedene one poznate formule za broj varijacija i permutacija. Svakako se može i tako raditi i tada nije potrebno poznavanje nikakvih formula za broj varijacija i kombinacija, već se koristi samo suva logika. Ipak, sećam se da su od nas neki profesori baš zahtevali da u zadatku prepoznamo kada se radi o permutaciji, kada o varijaciji, kada o kombinaciji, da li je sa ili bez ponavljanja... i da zatim primenimo odgovarajuću poznatu formulu. Zbog toga sam nekako više sklon da ljudima savetujem da na testu/ispitu rade na onaj način koji sam izložio, kako bi im zadatak bio u potpunosti priznat. Mada, da se ja pitam, svakako bi trebalo priznati tačno rešenje, bez obzira na koji se način do njega došlo.