MATEMANIJA

Ako nije problem, da li mozete ovaj zadatak:
Na koliko nacina tri osobe mogu medjusobno da podele [inlmath]5[/inlmath] knjiga tako da svaka osoba dobije bar jednu knjigu?
Ja sam izracunao da je to [inlmath]3^5[/inlmath]. Ali u resenju pise da se od tog oduzme [inlmath]3\cdot 2^5-3[/inlmath]. Nije mi jedino jasno zasto se u izrazu [inlmath]3\cdot 2^5[/inlmath] oduzme [inlmath]3[/inlmath]. Mozda je glupo, a da li je to zbog toga sto [inlmath]2[/inlmath] osobe kada podele [inlmath]5[/inlmath] kmjiga ostanu [inlmath]3[/inlmath].

Meni nije jasan taj način u kojem figuriše [inlmath]3^5[/inlmath]. To [inlmath]3^5[/inlmath] bi bio broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]3[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase, a ne vidim načina da u ovom slučaju budu upotrebljene varijacije s ponavljanjem, budući da imamo konačan broj knjiga. Može li pojašnjenje, na koji način si došao do [inlmath]3^5[/inlmath]?

Evo načina na koji bih ja radio ovaj zadatak (pri čemu dobijem isti rezultat kao i taj što piše u rešenju):

Ako se [inlmath]5[/inlmath] knjiga deli na [inlmath]3[/inlmath] osobe tako da svaka osoba dobije najmanje jednu knjigu, onda su moguća dva slučaja:
1. slučaj: Jedna osoba dobija [inlmath]3[/inlmath] knjige, a ostale dve osobe po jednu.
2. slučaj: Jedna osoba dobija jednu knjigu, a preostale dve osobe po dve.

---

1. slučaj: Jedna osoba dobija [inlmath]3[/inlmath] knjige, a ostale dve osobe po jednu.

Broj načina na koji prva osoba dobija [inlmath]3[/inlmath] knjige je broj kombinacija od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja (jer se od [inlmath]5[/inlmath] knjiga biraju [inlmath]3[/inlmath], pri čemu nije bitan redosled biranja). Taj broj iznosi [inlmath]5\choose 3[/inlmath].
Broj načina na koji druga osoba dobija svoju knjigu je [inlmath]2[/inlmath] (jer su, pošto je prva osoba dobila [inlmath]3[/inlmath] knjige, preostale samo [inlmath]2[/inlmath] knjige; može i preko kombinacija bez ponavljanja – kombinacije od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]1.[/inlmath] klase bez ponavljanja, tj. [inlmath]2\choose 1[/inlmath].
Broj načina na koji treća osoba dobija svoju knjigu je [inlmath]1[/inlmath] (jer je, pošto je prva osoba dobila [inlmath]3[/inlmath] knjige a druga osoba jednu knjigu, preostala samo jedna knjiga); preko kombinacija bez ponavljanja, to bi bilo [inlmath]1\choose 1[/inlmath].

Proizvod broja ovih načina je: [inlmath]{5\choose 3}\cdot 2[/inlmath]

To je broj načina raspodele kada jedna određena osoba dobija po [inlmath]3[/inlmath] knjige. Pošto bilo koja od te [inlmath]3[/inlmath] osobe može biti ta što je dobila [inlmath]3[/inlmath] knjige, dobijeni broj još treba pomnožiti sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]3\cdot{5\choose 3}\cdot 2[/dispmath]
i to će biti broj načina na koji se knjige mogu raspodeliti kada je neka od osoba dobila [inlmath]3[/inlmath] knjige, a preostale osobe po jednu.

---

2. slučaj: Jedna osoba dobija jednu knjigu, a preostale dve osobe po dve.

Broj načina na koji prva osoba, koja dobija jednu knjigu, može dobiti tu knjigu iznosi [inlmath]5[/inlmath], jer može dobiti bilo koju od tih [inlmath]5[/inlmath] knjiga. Preko kombinacija s ponavljanjem, to bi bio broj kombinacija od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]1.[/inlmath] klase bez ponavljanja – [inlmath]5\choose 1[/inlmath].
Broj načina na koji druga osoba može dobiti svoje [inlmath]2[/inlmath] knjige je broj kombinacija od [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja (jer od preostale [inlmath]4[/inlmath] knjige biramo [inlmath]2[/inlmath]), tj. [inlmath]4\choose 2[/inlmath].
Broj načina na koji treća osoba dobija svoje [inlmath]2[/inlmath] knijge iznosi [inlmath]1[/inlmath] (tj. postoji samo jedan način na koji može dobiti preostale [inlmath]2[/inlmath] knjige); ili, preko kombinacija bez ponavljanja, to bi bilo [inlmath]2\choose 2[/inlmath] (broj kombinacija od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja).

Proizvod broja ovih načina je: [inlmath]5\cdot{4\choose 2}\cdot 1[/inlmath]

To je broj načina raspodele kada jedna određena osoba dobija samo jednu knjigu. Pošto bilo koja od te [inlmath]3[/inlmath] osobe može biti ta što je dobila samo jednu knjigu, dobijeni broj još treba pomnožiti sa [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]3\cdot 5\cdot{4\choose 2}[/dispmath]
i to će biti broj načina na koji se knjige mogu raspodeliti kada je neka od osoba dobila jednu knjigu, a preostale osobe po dve.

---

Na kraju samo saberemo broj načina iz [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]2.[/inlmath] slučaja:
[dispmath]3\cdot{5\choose 3}\cdot 2+3\cdot 5\cdot{4\choose 2}[/dispmath]
što, kad se izračuna, daje broj [inlmath]150[/inlmath], što je jednako i onom rešenju [inlmath]3^5-\left(3\cdot 2^5-3\right)[/inlmath].

Pa, u resenju pise [inlmath]3^5[/inlmath] jer se radi o varijacijama sa ponavljanjem, a ne pise kako su to varijacije sa ponavljanjem. U svakom slucaju, hvala puno za opsirno i detaljno obrazlozenje.

Miladin Jovic je napisao:Nije mi jedino jasno zasto se u izrazu [inlmath]3\cdot 2^5[/inlmath] oduzme [inlmath]3[/inlmath]. Mozda je glupo, a da li je to zbog toga sto [inlmath]2[/inlmath] osobe kada podele [inlmath]5[/inlmath] kmjiga ostanu [inlmath]3[/inlmath].

Pogledao sam ovaj zadatak ponovo i skontao način na koji su oni radili. Oni su do varijacija s ponavljanjem [inlmath]\overline V_3^5[/inlmath] došli tako što su posmatrali ne na koliko načina se knjige mogu raspodeliti osobama, već na koliko načina se osobe mogu raspodeliti knjigama. Broj načina na koji prva knjiga može dobiti svog vlasnika je [inlmath]3[/inlmath], broj vlasnika na koji druga knjiga može dobiti svog vlasnika je [inlmath]3[/inlmath]... i tako dalje, do pete knjige, a to je [inlmath]3^5[/inlmath], znači, varijacije s ponavljanjem od [inlmath]3[/inlmath] elementa (budući vlasnici knjige) [inlmath]5.[/inlmath] klase (knjige).
To je ukupan broj mogućnosti, uključujući i mogućnosti koje tekstom zadatka nisu dozvoljene – da neke od osoba ostanu „kratkih rukava“. Zato sad od tog dobijenog broja mogućnosti treba oduzeti broj mogućnosti da neke osobe ne dobiju nijednu knjigu.

Broj mogućnosti da neke od osoba ne dobiju nijednu knjigu računamo na sledeći način: jedna osoba sigurno neće dobiti nijednu knjigu, a pošto ima ukupno [inlmath]3[/inlmath] osobe, postoji [inlmath]3[/inlmath] načina na koje možemo odabrati osobu koja će ostati bez knjige. Sada svakoj od [inlmath]5[/inlmath] knjiga pridružujemo neku od preostale dve osobe – varijacije s ponavljanjem od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase – pomnoženo brojem od [inlmath]3[/inlmath] načina na koji se može izabrati osoba koja ostaje bez knjige, a to je [inlmath]3\cdot\overline V_2^5=3\cdot2^5[/inlmath]. Međutim, ovim varijacima je obuhvaćen i slučaj da neka i od te preostale dve osobe ostane bez knjige, što bi dovelo do toga da svaki slučaj kada dve osobe ostanu bez knjige a treća dobije svih [inlmath]5[/inlmath] knjiga – računamo dvaput. Zbog toga sada od toga broja, od [inlmath]3\cdot2^5[/inlmath], treba oduzeti broj slučajeva kada dve osobe ostanu bez knjige, tj. da jedna osoba „pokupi“ svih [inlmath]5[/inlmath] knjiga. Broj takvih slučajeva je [inlmath]3[/inlmath], pošto to može biti jedna od te [inlmath]3[/inlmath] osobe. Dakle – broj mogućnosti da neke od osoba ne dobiju nijednu knjigu je [inlmath]3\cdot 2^5-3[/inlmath].

Prema tome, traženi broj mogućnosti je [inlmath]3^5-\left(3\cdot 2^5-3\right)[/inlmath].