MATEMANIJA

Evo jos jedan zadatak: Sifra na sefu odredjena je nizom od [inlmath]5[/inlmath] dekadnih cifara. Koliko ima sifara cije cifre cine strogo opadajuci niz?

Evo jos i jednog: Broj nacina na koji se mogu poredjati u nis [inlmath]n[/inlmath] nula i [inlmath]k[/inlmath] jedinica, tako da nikoje dve jedinice nisu susedne,ako je [inlmath]k\le n+1[/inlmath] ?

Daću ti neku osnovnu ideju oko rešavanja sledeća dva zadatka, ali, još jednom, očekujem da se ubuduće malo i sâm angažuješ.

Miladin Jovic je napisao:Evo jos jedan zadatak: Sifra na sefu odredjena je nizom od [inlmath]5[/inlmath] dekadnih cifara. Koliko ima sifara cije cifre cine strogo opadajuci niz?

Pošto se posmatraju samo one šifre koje čine opadajući niz, to znači:
– da se svaka šifra mora sastojati od različitih cifara (tj. cifre se, unutar jedne šifre, ne mogu ponavljati);
– da ne mogu postojati dve različite šifre s istim ciframa drugačije poređanim, budući da cifre moraju biti poređane isključivo u opadajućem nizu – npr. od cifara [inlmath]1,3,4,6,9[/inlmath] može se formirati samo šifra [inlmath]96431[/inlmath] i nijedna druga s tim ciframa.
Na osnovu ova dva zapažanja, možeš sâm zaključiti koju formulu ovde treba primeniti.

Miladin Jovic je napisao:Evo jos i jednog: Broj nacina na koji se mogu poredjati u nis [inlmath]n[/inlmath] nula i [inlmath]k[/inlmath] jedinica, tako da nikoje dve jedinice nisu susedne,ako je [inlmath]k\le n+1[/inlmath] ?

Pošto se dve jedinice ne mogu nači jedna do druge, onda to možeš posmatrati kao da se niz sastoji od nula i od grupa [inlmath]10[/inlmath], s tim da na kraju niza može (a i ne mora) da se nađe i jedinica.
Razmatraj posebno dva slučaja: kada se na kraju niza nalazi nula, a kada se na kraju niza nalazi jedinica.

– Ako se na kraju niza nalazi nula, tada u nizu možemo imati, kao njegove članove, samo nule i grupe [inlmath]10[/inlmath]. U ovakvom nizu broj grupa [inlmath]10[/inlmath] će biti jednak [inlmath]k[/inlmath] (jer su sve postojeće jedinice svrstane u te grupe), a broj nula će biti jednak [inlmath]n-k[/inlmath] (jer je [inlmath]k[/inlmath] nula „otišlo“ u onih [inlmath]k[/inlmath] grupa [inlmath]10[/inlmath]). Ukupan broj članova niza (broj nula plus broj grupa [inlmath]10[/inlmath]) biće [inlmath]n[/inlmath].

– Ako se na kraju niza nalazi jedinica, tada posmatramo podniz koji sadrži sve članove tog niza osim te jedinice na kraju, pa će broj grupa [inlmath]10[/inlmath] u tom podnizu biti [inlmath]k-1[/inlmath] (jer, pošto ne razmatramo onu jedinicu na kraju niza, u ovom podnizu je [inlmath]k-1[/inlmath] jedinica svrstano u grupe [inlmath]10[/inlmath]), a broj nula u tom podnizu će biti [inlmath]n-\left(k-1\right)[/inlmath]. Ukupan broj članova tog podniza (broj nula plus broj grupa [inlmath]10[/inlmath]) biće [inlmath]n[/inlmath].

Ovo ti je bila smernica, sad dalje vidi šta i kako da primeniš...

Hvala Daniele. Ali ja sam ovaj zadatak "resio" ovako: Posto u zadatku ima ponudjena resenja, ja sam zamenio [inlmath]n=3[/inlmath] i [inlmath]k=2[/inlmath]. Dobio sam da je trazeni broj nacina [inlmath]6[/inlmath] prosto prebrojavanjen 10001, 10010. 10100, 01001, 01010, 00101
Zamenio sam u ponudjena resenja i dobio da je resenje kombinacija klase [inlmath]k[/inlmath] od [inlmath]n+1[/inlmath] elemenata.
Ovo tvoje objasnjenje shvatam, ali ne znam kako dalje da resavam.

Evo ti objašnjenje za prvi slučaj, koji, kako napisah, glasi:

Daniel je napisao:– Ako se na kraju niza nalazi nula, tada u nizu možemo imati, kao njegove članove, samo nule i grupe [inlmath]10[/inlmath]. U ovakvom nizu broj grupa [inlmath]10[/inlmath] će biti jednak [inlmath]k[/inlmath] (jer su sve postojeće jedinice svrstane u te grupe), a broj nula će biti jednak [inlmath]n-k[/inlmath] (jer je [inlmath]k[/inlmath] nula „otišlo“ u onih [inlmath]k[/inlmath] grupa [inlmath]10[/inlmath]). Ukupan broj članova niza (broj nula plus broj grupa [inlmath]10[/inlmath]) biće [inlmath]n[/inlmath].

Pitanje na koliko načina je moguće grupe [inlmath]10[/inlmath] (kojih ima [inlmath]k[/inlmath]) rasporediti među [inlmath]n[/inlmath] članova niza, identično je pitanju na koliko načina možemo od [inlmath]n[/inlmath] članova niza izvući njih [inlmath]k[/inlmath] (jer to posmatramo kao da su oni članovi niza koje izvučemo, postali grupe [inlmath]10[/inlmath]).

Drugi način je da posmatramo na koliko načina možemo nule (kojih ima [inlmath]n-k[/inlmath]) rasporediti među [inlmath]n[/inlmath] članova niza, tj. na koliko načina možemo od [inlmath]n[/inlmath] članova niza izvući njih [inlmath]n-k[/inlmath] (jer to posmatramo kao da su oni članovi niza koje izvučemo, postali nule).

Ova dva načina daju potpuno isti rezultat, zbog osobine binomnog koeficijenta da je [inlmath]{n\choose n-k}={n\choose k}[/inlmath].

Tebi prepuštam da odradiš drugi slučaj, kada se na kraju niza nalazi jedinica. Kad sabereš broj mogućnosti prvog i drugog slučaja i središ taj izraz, na kraju ćeš kao rešenje dobiti to koje je i ponuđeno, [inlmath]n+1\choose k[/inlmath].

Za drugi slucaj vazi [inlmath]n\choose k-1[/inlmath] ili [inlmath]n\choose n-(k-1)[/inlmath] . Saberemo prvi i drugi slucaj kao sto ste rekli:
[dispmath]{n\choose k}+{n\choose k-1}=\frac{n!}{(n-k)!k!}+\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}=[/dispmath][dispmath]=\frac{n!(n-k+1)+n!k}{(n-k)!(n-k+1)(k-1)!k}=\frac{n!(n+1)}{(n-k+1)!k!}=\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!k!}={n+1\choose k}[/dispmath]
Hvala puno na pomoci!

To su kombinacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]5[/inlmath] klase zbog toga što odmah od [inlmath]10[/inlmath] biramo [inlmath]5[/inlmath] automatski strogo opadajucih...npr [inlmath]12345[/inlmath]

Tako je, kombinacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]5.[/inlmath] klase, samo je bitno naglasiti da su to kombinacije bez ponavljanja, jer postoje i kombinacije s ponavljanjem.
I, verovatno si umesto [inlmath]12345[/inlmath] hteo da napišeš [inlmath]54321[/inlmath], budući da je u pitanju primer strogo opadajućeg niza.