[dispmath](a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k={n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots +{n\choose n}b^n[/dispmath]
- Baza indukcije:
[dispmath]I(1):\;(a+b)^1=(a+b)[/dispmath]
- Induktivni korak:

Pretpostavimo da vazi [inlmath]I(n)[/inlmath], treba dokazati [inlmath]I(n+1):[/inlmath]
[dispmath](a+b)^n={n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots +{n\choose n}b^n\quad /\cdot(a+b)[/dispmath]
[dispmath](a+b)^{n+1}=\left[{n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots +{n\choose k}a^{n-k}b^k+\cdots +{n\choose n}b^n\right]\cdot a+[/dispmath][dispmath]+\left[{n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots +\enclose{box}{{n\choose k}a^{n-k}b^k}+\cdots +{n\choose n}b^n\right]\cdot b[/dispmath]
[dispmath](a+b)^{n+1}=a^{n+1}+{n\choose 1}a^nb+{n\choose 2}a^{n-1}b^2+\cdots +{n\choose k}a^{n-k+1}b^k+\cdots +ab^n+[/dispmath][dispmath]+{n\choose 0}a^nb+{n\choose 1}a^{n-1}b^2+\cdots +\enclose{box}{{n\choose k-1}a^{n-k+1}b^k}+\cdots +\enclose{circle}{{n\choose n-1}ab^n}+b^{n+1}[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]
Ono sto nikako ne mogu da razumem jeste kako je od ovog sto se nalazi u prvom pravougaoniku (uokvireno) dobijeno ovo sto se nalazi u drugom i otkud se pojavilo ovo zaokruzeno. Pokusavam vec dosta dugo da razumem ali mi nikako ne ide. Hvala unapred na pomoci

Zapravo, iz sabirka u prvom pravougaoniku ne sledi sabirak u drugom pravougaoniku. Ono što te verovatno zbunjuje, to je što su se sabirci koji su bitni za razumevanje postupka „utopili“ u one tri tačke.
Ali, kada bismo u taj postupak dodali te izostavljene sabirke:
[dispmath](a+b)^{n+1}=\left[{n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots +{n\choose k}a^{n-k}b^k+\cdots +{n\choose n}b^n\right]\cdot a+[/dispmath][dispmath]+\left[{n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots +{\color{blue}{n\choose k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}}+{\color{red}{n\choose k}a^{n-k}b^k}+\cdots +{\color{green}{n\choose n-1}ab^{n-1}}+{n\choose n}b^n\right]\cdot b[/dispmath]
[dispmath](a+b)^{n+1}=a^{n+1}+{n\choose 1}a^nb+{n\choose 2}a^{n-1}b^2+\cdots +{n\choose k}a^{n-k+1}b^k+\cdots +ab^n+[/dispmath][dispmath]+{n\choose 0}a^nb+{n\choose 1}a^{n-1}b^2+\cdots +{\color{blue}{n\choose k-1}a^{n-k+1}b^k}+{\color{red}{n\choose k}a^{n-k}b^{k+1}}+\cdots +{\color{green}{n\choose n-1}ab^n}+b^{n+1}[/dispmath]
verujem da bi sada bilo jasnije.
Iz svakog sabirka u nekoj boji sledi sabirak u istoj toj boji...

Hvala na odgovoru , to sam razumeo, i ja sam tako dobio ali iz nekog razloga se iz prvog pravougaonika dobije drugi zbog sledeceg:
[dispmath](a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\left[{n\choose 1}+{n\choose 0}\right]a^nb+[/dispmath][dispmath]+\left[{n\choose 2}+{n\choose 1}\right]a^{n-1}b^2+\cdots +\enclose{box}{\left[{n\choose k}+{n\choose k-1}\right]a^{n+1-k}b^k}+\cdots +b^{n+1}[/dispmath]
to je ono sto me muci

Ovo što si sad prikazao to je naredni deo postupka, koji sledi nakon onog dela koji si prikazao u prvom postu ove teme.
Jednostavno, grupisani su sabirci: na početku sabirak koji sadrži [inlmath]a^{n+1}[/inlmath], zatim sabirci koji sadrže [inlmath]a^nb[/inlmath], zatim koji sadrže [inlmath]a^{n-1}b^2[/inlmath] itd. pa onda grupisani sabirci koji sadrže [inlmath]a^{n+1-k}b^k[/inlmath] i na kraju sabirci koji sadrže [inlmath]ab^n[/inlmath] i zatim poslednji sabirak koji sadrži [inlmath]b^{n+1}[/inlmath].

Što se tiče, konkretno, ovog sabirka koji si uokvirio, on je dobijen sabiranjem sabirka [inlmath]{n\choose k}a^{n-k+1}b^k[/inlmath] i sabirka [inlmath]{n\choose k-1}a^{n-k+1}b^k[/inlmath].

Jasno je meni bilo da se to izvuce ispred zagrade da bi se sabrali ali mi nije bilo jasno ono na pocetku - sad sam jos jednom pazljivije pogledao i sad je sve ok. Koliki je dokaz-pogubio sam se. Hvala