MATEMANIJA

Zbirka 2013 FTN (EO, MEH...), oblast kombinatorika, 12. zadatak

Na koliko razlicitih nacina se moze rasporediti [inlmath]5[/inlmath] decaka i [inlmath]5[/inlmath] devojcica u bioskopskom redu od [inlmath]10[/inlmath] stolica tako da nikada dva decaka ne sede jedan pored drugog?
e sad, ja sam taj zadatak resavao tako da je jedini nacin da tako bude jeste da bude dva rasporeda
prvi: m z m z m z m z m z
i
drugi: z m z m z m z m z m
pri cemu je Z za devojcice i M za decake
onda to resavao permutacije i dosao do ove postavke : [inlmath]2\cdot5!\cdot5![/inlmath]
interesuje me je li ovo dobra postavka zadatka, posto se u resenju navodi [inlmath]10\cdot5!\cdot5![/inlmath] . i ako nisam dobro postavio gde sam pogresio. Hvala

Kada je na prvom mestu Z, tada je zaista ZMZMZMZMZM jedina mogućnost.
Međutim, kada je na prvom mestu M, tada MZMZMZMZMZ nije jedina mogućnost. Tu ti je greška. Imaš još mogućnosti:
MZMZMZMZZM
MZMZMZZMZM
MZMZZMZMZM
MZZMZMZMZM

Treba da se dobije [inlmath]6\cdot5!\cdot5![/inlmath], a ne [inlmath]10\cdot5!\cdot5![/inlmath] kako piše u rešenju.

ahm, hvala

Probao sam onom logikom posmatranja dva elementa kao jedan element. tj. u ovom zadatku bi to bilo ovako otprilike [inlmath]MZMZMZZZ\:MM[/inlmath]. Hteo bih da izračunam broj mogućnosti kada dvojica dečaka sede jedan pored drugog, pa da to oduzmem od ukupnog broja mogućnosti.

Je l' bi sad moglo da se odradi ovako: ta dva dečaka mogu da se odaberu na [inlmath]5\cdot4[/inlmath] načina i da se postave na ukupno [inlmath]5[/inlmath] pozicija (a da sede jedan pored drugog). A za svaku od tih mogućnosti, moramo uračunati i permutacije ostalih, a to je jednako [inlmath]8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=40320[/inlmath], to sve kad izmnožimo dobijemo [inlmath]5\cdot4\cdot5\cdot40320=4032000[/inlmath].

Ukupno mogućnosti ima [inlmath]10!=3628800[/inlmath].

I, naravno, opet sam dobio više mogućnosti od ukupnog broja mogućnosti.

Pretpostavio si da dečak [inlmath]A[/inlmath] i dečak [inlmath]B[/inlmath] sede jedan pored drugog i tada raspoređivao ostale. Međutim, prevideo si to, da se pri takvom random raspoređivanju može desiti i da npr. istovremeno i dečak [inlmath]C[/inlmath] i dečak [inlmath]D[/inlmath] sede jedan pored drugog. Znači, time si obuhvatio i slučajeve da zajedno sede [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], kao i [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]. Ali, isti takav raspored možeš dobiti i onda kada pretpostaviš da zajedno sede [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], jer i tada ostale raspoređuješ randomly, pa se može desiti da tada, osim [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], i [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] sede zajedno, što bi značilo da jedan isti raspored računaš dva puta. Zbog toga, kad pretpostaviš da dva dečaka sede zajedno, ne smeš to množiti sa [inlmath]5\cdot4[/inlmath], jer ćeš na taj način neke od rasporeda računati dva ili više puta. Zbog toga si dobio veći broj od stvarnog – čak veći broj od ukupnog broja mogućnosti.

Znači, ne bih smeo na taj način da tražim... Kako bih mogao da doradim ovaj postupak, a da dobijem rešenje? Da li uopšte može da se reši zadatak na ovaj način?

Ne bih rekao da može. Bar ja ne vidim načina, upravo zbog toga što se dosta zakomplikuje s tim ponavljanjima rasporeda.