MATEMANIJA

Naci koeficijent uz [inlmath]x^{10},x^{27},x^{28}[/inlmath] u razvoju [dispmath]\left(1+x^6-x^8\right)^{20}[/dispmath]
Hvala unapred

Da li vam je poznata formula za razvoj trinoma (trinomni koeficijenti), ili je potrebno da ovo uradite bez korišćenja te formule?

Ovo smo koristili ali to u ovom zadatku ne mogu da primenim
[dispmath](x_1+x_2+x_3+\cdots +x_k)^n={n\choose n_1,n_2\cdots n_k}\cdot x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_k^{n_k}[/dispmath]

OK, izostavio si znak za sumu, ali to je ta formula...

Znači, primenjena na trinom, glasila bi
[dispmath]\left(a+b+c\right)^n=\sum_{i,j,k}{n\choose i,j,k}a^ib^jc^k,\quad{n\choose i,j,k}=\frac{n!}{i!\cdot j!\cdot k!},\quad i+j+k=n[/dispmath]
Pošto je u našem slučaju [inlmath]n=20,\;a=1,\;b=x^6,\;c=-x^8[/inlmath],
[dispmath]\left(1+x^6-x^8\right)^{20}=\sum_{i,j,k}{20\choose i,j,k}1^i\cdot\left(x^6\right)^j\cdot\left(-x^8\right)^k=[/dispmath][dispmath]=\sum_{i,j,k}\left(-1\right)^k{20\choose i,j,k}x^{6j}\cdot x^{8k}=\sum_{i,j,k}\left(-1\right)^k{20\choose i,j,k}x^{6j+8k}[/dispmath]
i u svakom od sabiraka [inlmath]i+j+k=20[/inlmath].

Posmatramo na koje sve načine možemo dobiti [inlmath]x^{10}[/inlmath].
[dispmath]6j+8k=10[/dispmath]
Očigledno je da [inlmath]k[/inlmath] ne može biti veće od [inlmath]1[/inlmath], jer bi se već za [inlmath]k=2[/inlmath] dobilo [inlmath]6j+16=10[/inlmath], što ne bi imalo moguća rešenja po [inlmath]j[/inlmath], budući da [inlmath]i,j,k[/inlmath] ne mogu biti negativni. Za [inlmath]k=0[/inlmath] imali bismo [inlmath]6j=10[/inlmath], tj. [inlmath]j=\frac{5}{3}[/inlmath], što takođe otpada kao rešenje, jer su [inlmath]i,j,k[/inlmath] nenegativni celi brojevi. Za [inlmath]k=1[/inlmath] dobili bismo [inlmath]6j+8=10[/inlmath], pa ni to kao rešenje za [inlmath]j[/inlmath] ne bi dalo ceo broj. Prema tome, u ovom razvoju sabirak koji sadrži [inlmath]x^{10}[/inlmath] ne postoji, tj. koeficijent uz [inlmath]x^{10}[/inlmath] je [inlmath]0[/inlmath].

Još je lakše pokazati da je koeficijent uz [inlmath]x^{27}[/inlmath] takođe nula, budući da zbir dva parna broja ne može dati neparan broj.

Sa [inlmath]x^{28}[/inlmath] situacija je sledeća:
[dispmath]\begin{array}{l}
6j+8k=28\quad /:2\\
3j+4k=14
\end{array}[/dispmath]
[inlmath]k[/inlmath] ne može biti veće od [inlmath]4[/inlmath], znači, „kandidati“ za vrednost [inlmath]k[/inlmath] su [inlmath]0,1,2,3[/inlmath]. Pa onda ispituj jedno po jedno i dobićeš da jedino za [inlmath]k=2[/inlmath] jednačina može imati rešenja, jer se tada za [inlmath]j[/inlmath] dobije takođe [inlmath]2[/inlmath]. Odatle je [inlmath]i=20-j-k=16[/inlmath]. Znači, jedini skup rešenja je [inlmath]\left(i,j,k\right)=\left(16,2,2\right)[/inlmath]. I, kada te vrednosti uvrstimo u izraz za opšti sabirak, [inlmath]\left(-1\right)^k{20\choose i,j,k}x^{6j+8k}[/inlmath], dobićemo
[dispmath]\left(-1\right)^2{20\choose 16,2,2}x^{6\cdot 2+8\cdot 2}=\frac{20!}{16!\cdot 2!\cdot 2!}x^{28}=\cdots =29070x^{28}[/dispmath]
Prema tome, član uz [inlmath]x^{28}[/inlmath] je [inlmath]29070[/inlmath].