a) Koliko ima petocifrenih brojeva čije su cifre naizmenično parni i neparni brojevi?
b) Koliko ima petocifrenih brojeva sa različitim ciframa, čije su cifre naizmenično parni i neparni brojevi?

Imam zabunu oko ova dva zadatka...
rešenja su : a) [inlmath]9\cdot 5^4[/inlmath] b) [inlmath]5\cdot 4^2\cdot 3^3[/inlmath]
mislim da postoji greška u rešenjima, pa bih zamolio da mi neko pojasni

U redu su oba rešenja.

Obeležimo sa [inlmath]N[/inlmath] neparne, a sa [inlmath]P[/inlmath] parne cifre.

---

a) Razmatramo dva slučaja – prvi slučaj je [inlmath]NPNPN[/inlmath], a drugi je [inlmath]PNPNP[/inlmath].

Slučaj [inlmath]NPNPN[/inlmath]: Na prvoj poziciji možemo imati jednu od ukupno [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara ([inlmath]1,3,5,7,9[/inlmath]) – znači, [inlmath]5[/inlmath] mogućih slučajeva. Pomnožimo zatim to brojem slučajeva da se na drugoj poziciji nađe neka od [inlmath]5[/inlmath] parnih cifara (takođe [inlmath]5[/inlmath]), pa zatim pomnožimo to brojem slučajeva da se na trećoj poziciji nađe neka od [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara (to je isto [inlmath]5[/inlmath]), zatim to pomnožimo brojem slučajeva da se na četvrtoj poziciji nađe neka od [inlmath]5[/inlmath] parnih cifara (opet [inlmath]5[/inlmath]) i, na kraju, to još pomnožimo brojem slučajeva da se na petoj poziciji nađe neparna cifra (znači, još jednom sa [inlmath]5[/inlmath]). Prema tome, ovakvih brojeva ima [inlmath]5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^5[/inlmath].

Slučaj [inlmath]PNPNP[/inlmath]: Jedina razlika u odnosu na prethodni slučaj je to, što na prvoj poziciji ne smemo imati bilo koji od [inlmath]5[/inlmath] parnih brojeva, već moramo imati [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]8[/inlmath] (ako bismo imali nulu, broj ne bi bio petocifren). Sve ostalo je isto kao u prethodnom slučaju, dakle takvih brojeva ima [inlmath]4\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=4\cdot 5^4[/inlmath].

Na kraju nađemo zbir prethodna dva rešenja:
[dispmath]5^5+4\cdot 5^4=5\cdot 5^4+4\cdot 5^4=\left(5+4\right)\cdot 5^4=\enclose{box}{9\cdot 5^4}[/dispmath]

---

b) Takođe razlikujemo slučaj [inlmath]NPNPN[/inlmath] i slučaj [inlmath]PNPNP[/inlmath].

Slučaj [inlmath]NPNPN[/inlmath]: Početak je isti kao pod a) – na prvoj poziciji možemo imati jednu od ukupno [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara ([inlmath]1,3,5,7,9[/inlmath]) – znači, [inlmath]5[/inlmath] mogućih slučajeva. I na drugoj poziciji možemo imati neku od [inlmath]5[/inlmath] parnih cifara. Znači, zasad računamo [inlmath]5\cdot 5[/inlmath]. Međutim, sada za treću poziciju imamo samo [inlmath]4[/inlmath] „kandidata“, budući da je jedna od neparnih cifara već otišla na prvu poziciju, a nema ponavljanja cifara. Prema tome, sada množimo sa [inlmath]4[/inlmath]. Isti slučaj i s četvrtom pozicijom – na raspolaganju su nam samo [inlmath]4[/inlmath] parne cifre, budući da je jedna već otišla na drugu poziciju – opet množimo sa [inlmath]4[/inlmath]. Za petu poziciju nam je preostalo [inlmath]3[/inlmath] neparne cifre, jer se jedna (od ukupno [inlmath]5[/inlmath]) već nalazi na prvoj, a jedna na trećoj poziciji. Znači, množimo sada sa [inlmath]3[/inlmath]. Ovakvih brojeva, dakle, ima [inlmath]5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3[/inlmath].

Slučaj [inlmath]PNPNP[/inlmath]: Iz istog razloga kao i pod a), na prvoj poziciji možemo imati neku od [inlmath]4[/inlmath] parne cifre (ne smemo imati nulu). Na drugoj poziciji možemo imati neku od [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara. Na trećoj poziciji neku od preostale [inlmath]4[/inlmath] neparne cifre (ovaj put smemo staviti i nulu, ali ne smemo onu cifru koja se već nalazi na prvoj poziciji). Na četvrtoj poziciji možemo imati neku od preostale [inlmath]4[/inlmath] parne cifre. Na petoj poziciji možemo imati neku od preostale [inlmath]3[/inlmath] neparne cifre. Dakle, ovakvih brojeva ima [inlmath]4\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3[/inlmath].

Na kraju nađemo zbir prethodna dva rešenja:
[dispmath]5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3+4\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3=\left(5+4\right)\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3=9\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3=3^2\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3=\enclose{box}{5\cdot 4^2\cdot 3^3}[/dispmath]

Zahvaljujem na pomoći.
Problem mi je predstavljalo to što nisam znao da se nula računa kao paran broj, i da postoji slučaj kada je na prvom mjestu neparan broj.