MATEMANIJA

Koliko ima permutacija cifara [inlmath]\{1,2,3\ldots 9\}[/inlmath] u kojima je bar na jednom parnom mestu parna cifra?

Sugestija: od ukupnog broja permutacija ([inlmath]9![/inlmath]) oduzmi broj permutacija kod kojih ni na jednom parnom mestu nije parna cifra.

Tako sam i krenuo,ali nemam resenje da proverim da li je tacno.

Brojeve kod kojih ni na jednom parnom mestu nije parna cifra, tj. kod kojih su na svim parnim mestima neparne cifre, predstavimo na sledeći način:
[dispmath]xNxNxNxNx[/dispmath]
gde [inlmath]N[/inlmath] označava neparnu cifru, a [inlmath]x[/inlmath] bilo koju cifru.
Pošto parnih mesta ima ukupno [inlmath]4[/inlmath], a neparnih cifara ima [inlmath]5[/inlmath], to znači da će, pošto se neparne cifre raspodele po parnim mestima, ostati još jedna neupotrebljena neparna cifra i ona će biti na jednom od neparnih mesta, a na ostalim neparnim mestima biće parne cifre.

Broj načina na koje [inlmath]4[/inlmath] od ukupno [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara možemo raspodeliti na [inlmath]4[/inlmath] parna mesta jeste broj varijacija od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]4.[/inlmath] klase bez ponavljanja, dakle, [inlmath]V_5^4=5![/inlmath].

Broj načina na koje preostalih [inlmath]5[/inlmath] cifara možemo raspodeliti na [inlmath]5[/inlmath] neparnih mesta jeste broj permutacija od [inlmath]5[/inlmath] elemenata, dakle [inlmath]P_5=5![/inlmath].

Broj načina na koji možemo grupisati cifre od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] tako da na svim parnim mestima budu neparne cifre, dobijamo tako što pomnožimo prethodno dobijene brojeve, dakle, [inlmath]5!\cdot 5![/inlmath].

I to je broj koji treba da oduzmeš od ukupnog broja permutacija ([inlmath]9![/inlmath]), kako bi dobio ono što se u zadatku traži:
[dispmath]9!-5!\cdot 5![/dispmath]

Blizu sam bio, ovaj deo sam promasio zato sto sam ga posmatrao kao kombinaciju.

Broj načina na koje [inlmath]4[/inlmath] od ukupno [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara možemo raspodeliti na [inlmath]4[/inlmath] parna mesta jeste broj varijacija od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]4.[/inlmath] klase bez ponavljanja

Da, moramo ga posmatrati kao varijaciju, jer nam je bitan redosled kojim su elementi raspoređeni. Da nam redosled nije bitan, onda bismo ga posmatrali kao kombinaciju.