MATEMANIJA

Na koliko razlicitih nacina se mogu od prvih [inlmath]18[/inlmath] prirodnih brojev aodabrati [inlmath]3[/inlmath] broja tako da im zbir bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]?
ne znam ni kako da postavim ovo,da nadjem [inlmath]18\choose 3[/inlmath] kombinacija ali sta sa tim?

Pri deljenju nekog broja sa [inlmath]3[/inlmath] ostatak može biti [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath].
Prema tome, ovih [inlmath]18[/inlmath] brojeva možemo podeliti u tri grupe prema tome koji ostatak daju pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] - i svaka od te tri grupe će imati po [inlmath]6[/inlmath] brojeva u sebi.
Kako bi zbir odabranih brojeva bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], zbir ostataka pri deljenju takođe mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
To je moguće u dva slučaja:
1) svi odbarani brojevi su iz iste grupe
2) svi odabrani brojevi su iz različitih grupa
U prvom slučaju tri od [inlmath]6[/inlmath] brojeva iz svake grupe možemo izabrati na [inlmath]{6\choose 3}=20[/inlmath] načina. Kako imamo tri grupe, to ukupno daje [inlmath]20\cdot 3=60[/inlmath] mogućnosti.
U drugom slučaju broj iz svake od grupa možemo odabrati na [inlmath]6[/inlmath] načina, pa je ukupan broj mogućnosti za taj slučaj [inlmath]6\cdot 6\cdot 6=216[/inlmath]
Ukupan broj mogućnosti je dakle [inlmath]60+216=276[/inlmath].

Milovan je napisao:Pri deljenju nekog broja sa [inlmath]3[/inlmath] ostatak može biti [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath].

Kako ovo znamo?

Mogući ostaci pri deljenju sa [inlmath]n[/inlmath] su [inlmath]0,1,\ldots,n-1[/inlmath].

Ili, razmišljaj ovako. Treba [inlmath]n[/inlmath] bombona da raspodeliš na troje dece, tako da svako dete dobije podjednak broj bombona.

Da li ostatak (tj. broj neraspodeljenih bombona) može biti [inlmath]3[/inlmath]? Ne može, jer onda te preostale [inlmath]3[/inlmath] bombone možemo raspodeliti tako da svako dete dobije još po jednu od te [inlmath]3[/inlmath] bombone, nakon čega će sve bombone biti raspodeljene.

Da li ostatak može biti [inlmath]4[/inlmath]? Ne može, jer onda te preostale [inlmath]4[/inlmath] bombone možemo raspodeliti tako da svako dete dobije još po jednu bombonu, nakon čega nam preostaje jedna neraspodeljena.

Isto važi i za ostatke [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] itd...

Davno beše taj prvi razred osnovne kad smo ovo radili, ali još uvek se ponečega sećam...

Na koliko razlicitih nacina se mogu od prvih [inlmath]18[/inlmath] prirodnih brojeva odabrati tri broja, tako da im zbir bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]?
Resenje je: [inlmath]276[/inlmath].
Ne mogu da resim zadatak zato sto me najvise zbunjuje to sto se trazi da zbir [inlmath]3[/inlmath] broja bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]..

Da bi zbir tri broja bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], potrebno je da bude ostvaren jedan od sledeća četiri slučaja (gde je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj):

• sva tri broja su deljiva sa [inlmath]3[/inlmath] (tj. sva tri su oblika [inlmath]3k[/inlmath]);
• sva tri broja su oblika [inlmath]3k+1[/inlmath];
• sva tri broja su oblika [inlmath]3k+2[/inlmath];
• jedan broj je oblika [inlmath]3k[/inlmath], jedan je oblika [inlmath]3k+1[/inlmath], a jedan je oblika [inlmath]3k+2[/inlmath].

Znaci, brojeva oblika [inlmath]3k[/inlmath] od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]18[/inlmath] ima [inlmath]6[/inlmath], oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] ima [inlmath]5[/inlmath], oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] isto [inlmath]5[/inlmath], a u cetvrtom slucaju ima [inlmath]16[/inlmath] brojeva, koji mogu da se rasporede na [inlmath]6\cdot5\cdot5=150[/inlmath] nacina, pa sam stavila [inlmath]{6\choose3}+{5\choose3}+{5\choose3}+150[/inlmath], ali ne dobijem tacan rezultat.

Mila Maric je napisao:oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] ima [inlmath]5[/inlmath],

Nope. Ima ih [inlmath]6[/inlmath], to su: [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]10[/inlmath], [inlmath]13[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath].

Mila Maric je napisao:oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] isto [inlmath]5[/inlmath],

Isto ih ima [inlmath]6[/inlmath].

Mila Maric je napisao:a u cetvrtom slucaju ima [inlmath]16[/inlmath] brojeva,

Ovaj pogrešan broj si, pretpostavljam, dobila sabirajući [inlmath]6+5+5[/inlmath]. Ali eto, kud se dedoše dva broja kad po uslovu zadatka imamo [inlmath]18[/inlmath] brojeva na raspolaganju?

Ispravi sve ovo i dobićeš tačan rezultat, a zadatak smo inače već imali ovde.