MATEMANIJA

treba da se resi
[dispmath]\varphi\left(5^x3^y\right)=3000[/dispmath]
i sad ja primenim formulu za ojlerovu funkciju i primenim to da je ona multiplikativna, i dobijem
[dispmath]5^{x-1}3^{y-1}=500[/dispmath]
zna li neko kako se dalje radi, i koliko su [inlmath]x,y[/inlmath]?

Dakle, dato je da je [inlmath]\varphi\left(5^x3^y\right)=3000[/inlmath]

S obzirom na to da je Ojlerova funkcija multiplikativna, važi [inlmath]\varphi\left(5^x3^y\right)=\varphi\left(5^x\right)\cdot\varphi\left(3^y\right)[/inlmath]

Kako su brojevi [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] prosti, jasno je da važi [inlmath]\varphi\left(5^x\right)=(5-1)\cdot 5^{x-1}=4\cdot 5^{x-1}[/inlmath] i [inlmath]3^y=(3-1)\cdot 3^{y-1}=2\cdot 3^{y-1}[/inlmath]

Kada se ovo ubaci u polaznu jednačinu, dobije se:
[dispmath]5^{x-1}\cdot 3^{y-1}=\frac{3000}{8}=375[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]5^4=625[/inlmath], sledi da je [inlmath]x-1<4[/inlmath], tj. [inlmath]x<5[/inlmath]

Ostaje nam, dakle, da za [inlmath]x[/inlmath] ispitamo vrednosti [inlmath]1,2,3,4[/inlmath].
Za [inlmath]x=1[/inlmath] je [inlmath]3^{y-1}=375[/inlmath], što ne važi ni za jedan prirodan broj [inlmath]y[/inlmath].
Za [inlmath]x=2[/inlmath] je [inlmath]3^{y-1}=75[/inlmath], što ne važi ni za jedan prirodan broj [inlmath]y[/inlmath].
Za [inlmath]x=3[/inlmath] je [inlmath]3^{y-1}=15[/inlmath], što ne važi ni za jedan prirodan broj [inlmath]y[/inlmath].
Najzad, kada je [inlmath]x=4[/inlmath], dobije se da je [inlmath]3^{y-1}=3[/inlmath], tj. da je [inlmath]y=2[/inlmath].

Rešenje je, dakle, [inlmath]x=4[/inlmath], a [inlmath]y=2[/inlmath].

Da,da, jasno mi je sad, pogresila sam u racunu, ne znam kojim cudom je meni [inlmath]3000[/inlmath] podeljeno sa [inlmath]8[/inlmath] , [inlmath]500[/inlmath]
Btw, hvala