MATEMANIJA

Pozdrav. Rješio sam ovaj zadatak ovako:
[dispmath]64\:\left|\:\left(3^{2n+2}-8n-9\right)\right.[/dispmath]
1. Baza indukcije: [inlmath]n=1[/inlmath]
[dispmath]3^{(2\cdot 1)+2}-8\cdot 1-9=3^4-8-9=81-8-9=64=64\cdot 1[/dispmath]
2. Pretpostavka: [inlmath]n=k[/inlmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
3^{2n+2}-8n-9=64k\\
3^{2n+2}=64k+9+8n\\
3^{2n}\cdot 3^2=64k+9+8n\\
\\
3^{2n}=\frac{64k+8n+9}{9}
\end{array}[/dispmath]
3. Korak: [inlmath]n=k+1[/inlmath]
[dispmath]3^{2(n+1)+2}-8(n+1)-9=3^{2n+2+2}-8n-8-9=\\
=3^{2n+4}-8n-8-9=3^{2n}\cdot 3^4-8n-17=81\cdot 3^{2n}-8n-17[/dispmath]
[dispmath]81\left(\frac{64k+8n+9}{9}\right)-8n-17=9(64k+8n+9)-8n-17=\\
=576k+72n+81-8n-17=576k+64n+64[/dispmath]
[dispmath]64(9k+n+1)[/dispmath]
Molim vas, da li je tačno? Hvala.

Tačno, sasvim.

Zadatak:
[dispmath]6\mid n^3+11n[/dispmath]
1.) [inlmath]n=1,\;1^3+11\cdot 1=12=6\cdot 2[/inlmath]

2.) [inlmath]n=k,\;6\mid k^3+11k[/inlmath]
Tada postoji prirodan broj [inlmath]l[/inlmath] takav da je [inlmath]k^3+11k=6l[/inlmath]

3.) [inlmath]n=k+1[/inlmath], pomoću induktivne pretpostavke dobivamo:
[dispmath](k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=[/dispmath]
i sada na kraju sam zapeo, može pomoć. Hvala.

Dobio si:
[dispmath](k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=\enclose{box}{k^3+11k}+\enclose{circle}{3k^2+3k}+12[/dispmath]
Prema pretpostavci iz drugog koraka, [inlmath]k^3+11k[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]. I [inlmath]12[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]. Ostaje da se pokaze da je sa [inlmath]6[/inlmath] deljivo i [inlmath]3k^2+3k=3k(k+1)[/inlmath]. To je prilicno jasno jer je tu proizvod trojke i dva uzastopna broja, od kojih jedan mora biti paran i otuda je i to deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].

Mozes, naravno, umesto ove logike opet primeniti matematicku indukciju.
1) za [inlmath]k=1[/inlmath] dobije se [inlmath]6[/inlmath], sto je deljivo s [inlmath]6[/inlmath]
2) Pretpostavimo da vazi za [inlmath]k[/inlmath]
3) Dokazemo da vazi za [inlmath]k+1[/inlmath]:
[dispmath]3(k+1)^2+3(k+1)=3k^2+6k+3+3k+3=3k^2+3k+6(k+1)[/dispmath]
Prvi deo je deljiv po pretpostavci, a za ovaj drugi je sasvim jasno. Time je ovo dokazano.

Traži se dokaz da je deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].
[dispmath]k^3+11k=6l,\;l\in\mathbb{N}[/dispmath]
Nastavit ću od koraka indukcije:[dispmath](k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=6l+3k^2+3k+12=6l+3k(k+1)+12[/dispmath]
Izraz [inlmath]k(k+1)[/inlmath] je umnožak 2 uzastopna broja, jedan od njih je paran, pa je [inlmath]k(k+1)[/inlmath] paran broj [inlmath]\Rightarrow k(k+1)=2n,\;\;n\in\mathbb{N}[/inlmath].
[dispmath]6l+3\cdot 2n+12=6(l+n+2)[/dispmath]
Mislim, uz vašu pomoć, da je sada to tačno. Hvala.

Sve OK.

Indukcija:

Pozdrav, bio bih zahvalan ako bi netko mogao reci sta je tacno poanta dokazivanja indukcijom u 6. zadatku, te zašto ova uputa u 7. nije zapravo rešenje? Šta još treba napisati?

6. Neka je [inlmath]m[/inlmath] najmanji element skupa [inlmath]A\subseteq\mathbb{N}[/inlmath]. Ako [inlmath]A[/inlmath] sadrži [inlmath]k+1[/inlmath] kada god sadrži prirodni broj [inlmath]k[/inlmath] onda je [inlmath]A=\{n\in\mathbb{N}:n>m\}[/inlmath].

7. Neka je [inlmath]a[/inlmath] realan broj. Za svaki par [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] vredi [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{n+m}[/inlmath].

Uputa:
Neka je [inlmath]M[/inlmath] skup svih prirodnih brojeva [inlmath]m[/inlmath], sa svojstvom da je [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{n+m}[/inlmath] za svaki prirodni broj [inlmath]n[/inlmath].
Budući da je [inlmath]a^{n+1}=a\cdot a^n[/inlmath] po definiciji to je [inlmath]1\in M[/inlmath].
Ako je [inlmath]m\in M[/inlmath], tj. [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n},\;\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] onda [inlmath]a^{m+1}\cdot a^n=\left(a\cdot a^m\right)\cdot a^n=a\cdot\left(a^m\cdot a^n\right)=a\cdot a^{m+n}[/inlmath] zbog [inlmath](m\in M)=a^{(m+n)+1}=a^{(m+1)+n}[/inlmath].

Hvala.

@željko,
da li je u zadatku br. [inlmath]6[/inlmath] zapravo:
[dispmath]A=\{n\in\mathbb{N}:n\ge m\}[/dispmath]
Ovako kako si ti napisao mi deluje kontradiktorno.

Jao, ja sam pogrešio, da, tako je kako ste napisali. Izvinjavam se. Hvala.

Sada je sve tačno prepisano, samo još odgovori!!! Hvala.

željko je napisao:Sada je sve tačno prepisano, samo još odgovori!!! Hvala.

@željko, šta znače ta tri znaka uzvika na kraju rečenice?
Podsetio bih te da nije dopušteno bilo šta što se može smatrati vikanjem (tačka 3. Pravilnika), kao ni požurivanje korisnika, koji rade isključivo kao volonteri (tačka 16. Pravilnika).

Praksa na ovom forumu je (a i sasvim je logično i pravedno) da prioritet u dobijanju pomoći imaju oni koji, osim što traže pomoć, isto tako ponekad i pomognu ostalim korisnicima, u skladu s preporukom (istina, ne i obavezom) iskazanom tačkom 7. Pravilnika. Ja ti se zaista izvinjavam ako grešim, ali nešto se ne sećam da si ikad ranije nekome na forumu ponudio pomoć oko nekog zadatka – slobodno me ispravi ako to nije istina.

Apsolutno se slažem (100%) s prethodnim Danielovim postom, a posebno s ovim:

Daniel je napisao:Podsetio bih te da nije dopušteno bilo šta što se može smatrati vikanjem (tačka 3. Pravilnika), kao ni požurivanje korisnika, koji rade isključivo kao volonteri (tačka 16. Pravilnika).

Ne znam kako sam ja to vikao, pristojno sam napisao da sam pogrešio u prepisivanju zadatka (izvinuo se) i da je sada sve tačno napisano.
Nisam tražio da požurite, to nisam napisao. Nikad nisam čuo ni pročitao da tri znaka uzvika znače vikanje, ja to onako bez veze stavio. Hvala.

Tačka 3. Pravilnika foruma Matemanija sažeto glasi:

Zabranjen je svaki stil pisanja koji drugi korisnici mogu shvatiti kao vikanje: upotreba caps-locka, više od jednog znaka uzvika na kraju rečenice, ceo post napisan boldovanim slovima ili velikim fontom.

O ovome se možeš informisati detaljnije kada i ako pročitaš Pravilnik foruma Matemanija.
p.s. Izvinuti se možeš na vratilu, razboju i ostalim gimnastičkim spravama.
Ja smatram da si se ti izvinio i naravno da ću uraditi postavljeni zadatak. Ja ili neko drugi, svejedno.

Znak uzvika, iliti uzvičnik, kako mu i sâmo ime kaže, znači – uzvikivanje, vikanje. Tri znaka uzvika isto to, samo još tri puta jače.
Da znači, recimo, šaputanje, onda se, logično, ne bi zvao uzvičnik, već bi se zvao šaputnik.
OK, izvinjenje prihvaćeno, izgladili smo to, nego da znaš za inače.

Evo od mene zasad taj 6. zadatak. On, dakle, ispravljen, glasi

6. Neka je [inlmath]m[/inlmath] najmanji element skupa [inlmath]A\subseteq\mathbb{N}[/inlmath]. Ako [inlmath]A[/inlmath] sadrži [inlmath]k+1[/inlmath] kada god sadrži prirodni broj [inlmath]k[/inlmath] onda je [inlmath]A=\left\{n\in\mathbb{N}:n\ge m\right\}[/inlmath].

Ovde je poenta u tome da, ako jedan prirodan broj pripada nekom skupu, tada i prvi sledeći prirodan broj mora pripadati tom skupu. A samim tim, na osnovu istog tog pravila, i sledeći prirodan broj, pa sledeći itd. do u beskonačnost. Uporedi to s onim efektom domina koje stoje jedna ispred druge u nizu, oboriš neku koja se nalazi negde oko sredine niza i sve domine koje su postavljene nakon te biće oborene, dok će one domine koje su bile postavljene iza te domine koju smo prvu oborili nastaviti da i dalje stoje.

E, to je efekat i u ovom zadatku. Ta prva domina koju obaramo ovde je taj broj [inlmath]m[/inlmath], najmanji element skupa [inlmath]A[/inlmath]. Iz uslova zadatka tada će i [inlmath]m+1[/inlmath] pripadati tom skupu, pa onda opet, pošto [inlmath]m+1[/inlmath] pripada skupu [inlmath]A[/inlmath], iz uslova zadatka skupu [inlmath]A[/inlmath] će pripadati i naredni prirodan broj, [inlmath]\left(m+1\right)+1[/inlmath], tj. [inlmath]m+2[/inlmath], pa zatim [inlmath]m+3[/inlmath] itd. itd. Tako do beskonačnosti. Znači, prirodan broj [inlmath]m[/inlmath] i svi prirodni brojevi veći od [inlmath]m[/inlmath] pripadaće skupu [inlmath]A[/inlmath].

Hvala, to mi je jasno, ono šta meni nije jasno šta je tačno poenta formalnog dokaza putem mat. indukcije u 6. zadatku.

Poenta formalnog dokaza je da se dokaže upravo ovo što sam ti ja slikovito predstavio s dominama.
Čini mi se da ne razumem najbolje šta ti zapravo želiš da pitaš, ali kakvo je bilo tvoje pitanje, takav je bio i moj odgovor.
Molim te da malo podrobnije objasniš šta te ovde buni.