MATEMANIJA

Dokazati da je [inlmath]1+\sqrt2[/inlmath] iracionalan broj.
Da li je dobra ova početna ideja?
Pretpostavimo suprotno tj.da je ovaj broj racionalan.
Pa imamo: [inlmath]\sqrt 2+1=\frac{p}{q}[/inlmath] gde je naravno [inlmath]p,q\in\mathbb{Z}\;\;q\ne 0[/inlmath]. Da li je dobar početak? Izvinjavam se ako sam smestio ovaj post u pogrešnu oblast.

Da, zadatak se radi preko te pretpostavke.

Ja bih to radio ovako, ova pretpostavka da je [inlmath]\sqrt 2+1[/inlmath] iracionalan broj moze se svesti na to da [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] mora biti iracionalan broj jer je [inlmath]1[/inlmath] cio broj.
[dispmath]\sqrt 2=\frac{p}{q}[/dispmath][dispmath]2=\frac{p^2}{q^2}[/dispmath][dispmath]2q^2=p^2[/dispmath]
e sada jer broj pomnozen sa [inlmath]2[/inlmath] je uvijek paran broj a to je u ovome slucaju [inlmath]p^2[/inlmath] pa logicno je ako je kvadrat toga broja paran da je i taj broj paran pa slijedi da je [inlmath]p=2k[/inlmath]
pa imamo
[dispmath]2q^2=4k^2[/dispmath][dispmath]q^2=2k^2[/dispmath]
sada iz istoga uslova se dobije isto da je [inlmath]q[/inlmath] paran broj i ovo ce se ovako ponavljati beskonacno. E sada stvar je jer se svaki racionalan broj moze zapisati u obliku razlomka koji se moze skratiti a ovaj se ne moze skratiti jer ide u beskonacnost i to je dokaz da je iracionlan broj.

Da je [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] iracionalan broj može se dokazati na još jedan, vrlo sličan način. Polazimo od poznate činjenice da se svaki racionalan broj može napisati kao količnik dva uzajamno prosta broja – znači, kao razlomak koji se ne može skratiti. U tom slučaju, na početku dokaza koji je Gamma priložio, pretpostavili bismo da je [inlmath]\sqrt 2=\frac{p}{q}[/inlmath], gde su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] uzajamno prosti. Međutim, kad dođemo, već pokazanim postupkom, do toga da i [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] moraju biti parni brojevi, to znači da oni ne mogu biti međusobno prosti, već imaju dvojku kao zajednički činilac, pa se razlomak [inlmath]\frac{p}{q}[/inlmath] može skratiti dvojkom, što je u kontradikciji s polaznom pretpostavkom da su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] uzajamno prosti. Time je dokazano da [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] nije racionalan broj.

---

Ako je potrebno dokazati da je zbir celog i iracionalnog broja iracionalan broj (radi dokazivanja da, pošto je [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] iracionalan, tada je i [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath] iracionalan), možemo takođe pretpostaviti suprotno – da je zbir celog i iracionalnog broja racionalan broj. Pretpostavimo da je [inlmath]a[/inlmath] iracionalan broj a [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] celi brojevi ([inlmath]p\ne 0[/inlmath]) i tada, prema pretpostavci, važi:
[dispmath]m+a=\frac{n}{p}[/dispmath]
Tada je
[dispmath]a=\frac{n}{p}-m[/dispmath][dispmath]a=\frac{n-pm}{p}[/dispmath]
Pošto su [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] celi brojevi, tada će i [inlmath]n-pm[/inlmath] biti ceo broj, pa sledi da je [inlmath]a[/inlmath] jednak količniku dva cela broja, tj. da je [inlmath]a[/inlmath] racionalan, a to je u kontradikciji s polaznom pretpostavkom da je [inlmath]a[/inlmath] iracionalan. Prema tome, dokazano je da je zbir celog i iracionalnog broja iracionalan broj.