MATEMANIJA

Ucenik nije primetio znak mnozenja izmedju dva trocifrena broja i napisao je jedan sestocifren broj. Rezultat je ispao [inlmath]2[/inlmath] puta veci. Naci te brojeve.

Ako jedan trocifren broj označimo sa [inlmath]x[/inlmath] a drugi sa [inlmath]y[/inlmath], onda možemo postaviti ovakvu jednačinu:
[dispmath]2xy=1000x+y[/dispmath]
[inlmath]x[/inlmath] možemo izraziti preko [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]2xy-1000x=y\\
x\left(2y-1000\right)=y\\
x=\frac{y}{2y-1000}[/dispmath]
Odavde vidimo da, pre svega, pošto je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno, mora i razlomak na desnoj strani biti pozitivan, a pošto je njegov brojilac pozitivan, mora biti pozitivan i imenilac:
[dispmath]2y-1000>0\\
2y>1000\\
y>500\\
y\ge 501[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x\ge 100[/inlmath], mora i vrednost razlomka biti veća ili jednaka od [inlmath]100[/inlmath]:
[dispmath]\frac{y}{2y-1000}\ge 100[/dispmath]
Pošto smo već postavili uslov da je imenilac pozitivan, možemo ga prebaciti na desnu stranu ne narušavajući nejednakost:
[dispmath]y\ge 100\left(2y-1000\right)\\
y\ge 200y-100000\\
199y\le 100000\\
y\le \frac{100000}{199}\\
y\le 502,51\\
y\le 502[/dispmath]
Sada iz rezultata [inlmath]y\ge 501[/inlmath] i [inlmath]y\le 502[/inlmath] zaključujemo da [inlmath]y[/inlmath] može biti [inlmath]501[/inlmath] ili [inlmath]502[/inlmath].
Sada i jednu i drugu vrednost zamenimo u početnu jednačinu, [inlmath]2xy=1000x+y[/inlmath]:
[inlmath]y=501:[/inlmath]
[dispmath]2x\cdot 501=1000x+501\\
1002x=1000x+501\\
2x=501\\
x=\frac{501}{2}[/dispmath]
Ovo rešenje otpada, budući da [inlmath]x[/inlmath] mora biti prirodan broj.
[inlmath]y=502:[/inlmath]
[dispmath]2x\cdot 502=1000x+502\\
1004x=1000x+502\\
4x=502\\
x=\frac{502}{4}[/dispmath]
Pošto ni ovo rešenje nije prirodan broj, otpada i ono, tako da ispada da zadatak nema rešenja?

Pogledaću ovo kasnije još jednom da nisam negde pogrešio u postupku, sad moram da izađem iz kuće... A nek proveri i još neko...
Uglavnom, to ti je princip rešavanja, pa možeš pokušati i sama.

Pregledao sam ceo postupak ne još jednom, nego još pet puta, ali grešku ne uočavam... Biće da ovaj zadatak, ipak, nema rešenja...

Proverio sam i ja, ne opažam grešku.

Greška je u zadatku ili stvarno nema rešenja.

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 12.3.2011. – 3. razred

Ucenik nije primjetio znak mnozenja izmedju dva trocifrena broja i napisao jedan sestocifrenbroj koji je [inlmath]7[/inlmath] puta veci od njihovog proizvoda.

Uzmemo da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] trazeni brojevi,pa iz toga postavimo sledecu jednacinu
[dispmath]1000x+y=7xy[/dispmath][dispmath]1000x=(7x-1)y[/dispmath]
E sada stvar je u tome sto [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] moraju biti cijeli trocifreni brojevi da bi ovaj zadatak imao smila.Ne znam kako bi bilo pravilno rjesiti ovu jednacinu ,ja sam uvijek ovakve jednacine rjesavao napamet mislim ono na blef pogadjanje. To u ovome slucaju je malo teze je je trocifren broj. Naravno postoji jos cjeloborojnih rjesenja koja nisu trocifreni brojevi ali kao sto sam vec rekao to nema smila. Ja sam ovo rjesavao tako sto ovu jednacinu podjelim na 2 jednacine sada koliko je to pravilno i moze li tako ja stvarno ne znam.
[dispmath]x=y[/dispmath][dispmath]7x-1=1000[/dispmath][dispmath]7x=1001[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=143}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y=143}[/dispmath]
Znaci,ovo rjesenje je ispravno ali za nacin rjesavanja ne znam!.U rjesnju je radilo nekako jer su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] uzajamno prosti jer je [inlmath](7x-(7x-1))=1[/inlmath] i iz toga slijedi da je [inlmath]1000[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath].Odavde iz [inlmath]7x-1\ge 7\cdot 100-1=699[/inlmath] slijedi [inlmath]7x-1=1000[/inlmath] pa [inlmath]x=143[/inlmath] i [inlmath]y=143[/inlmath]
Po ovome rjesenju slabo mi je sta jasno,jedino jasno mi je ovo za uzajamno proste brojeve ali dalje mi nista nije jasno. Kako preko tih prostih brojeva do one jednacine?

Najbolje bi bilo ako neko moze malo da pojasni i da kaze kako bi on radio ovakav tip jednacine!

Tvoj postupak daje ispravno resenje, ispravne su i jednacine koje si koristio, ali si ove vrednosti izjednacio sasvim proizvoljno, bez bilo kakvog obrazlozenja, i to je vec neispravno...

Da pojasnim njihovo resenje. Imas jednacinu:
[dispmath]1000x=(7x-1)y[/dispmath]
Brojevi [inlmath]7x-1[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] su uzajamno prosti. Znas da se svaki broj moze predstaviti kao proizvod prostih brojeva – otuda i sve sa leve i sa desne strane moze se predstaviti kao proizvod prostih brojeva. Kako su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] uzajamno prosti, onda ce [inlmath]7x-1[/inlmath] sa desne morati da se sadrzi u [inlmath]1000[/inlmath]-u sa leve strane, tj. [inlmath]1000[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath]. Kako je [inlmath]x[/inlmath] trocifren broj i samim tim je najmanje [inlmath]100[/inlmath], znamo da je [inlmath]7x-1\ge 7\cdot 100-1=699[/inlmath]. Dakle [inlmath]7x-1[/inlmath] je broj veci od [inlmath]699[/inlmath] koji je delilac [inlmath]1000[/inlmath], a to je moguce samo ako je [inlmath]7x-1=1000[/inlmath]. Otuda dobijamo [inlmath]x[/inlmath], i vracanjem u jednacinu i [inlmath]y[/inlmath].

Ja sam ovo nesto radio na blef ali ispostavilo se da je neispravno.Moglo bi se reci nekako da mi je ovo jasno

Ovu temu sam spojio s temom od pre par godina, u kojoj je bio vrlo sličan zadatak – razlika je jedino u tome što je ovde šestocifreni broj [inlmath]7[/inlmath] puta veći od proizvoda, a u tom zadatku je bio [inlmath]2[/inlmath] puta veći.

Mada, sad kad pogledam, vrlo je moguće da je čak u pitanju potpuno isti zadatak, a da je u tom od pre dve godine bila greška u tekstu, pa da zbog toga nismo mogli da dobijemo rešenje. U svakom slučaju, Gamma, možeš baciti pogled i na način rešavanja koji sam tada primenio, malo se razlikuje od ovog načina, ali mislim da, kada se primeni na ovu verziju zadatka, nešto brže dovodi do tačnog rešenja.

Moguce je da su bas isti zadaci. Daniele nisam znao za ovu temu. Mozda cak da sam ranije vidio ovo ne bih ni otvarao.Ovaj tvoj nacin je razumljivljiji po mome misljenju. Za ovo sto je Milovan govorio mislo sam da mi je jasno ali kada sam pogledao jos para puta promjeno sam misljenje.

Znas da se svaki broj moze predstaviti kao proizvod prostih brojeva – otuda i sve sa leve i sa desne strane moze se predstaviti kao proizvod prostih brojeva

Ovde me zbunjuju 2 stvari.
1 stvar to da se svaki broj moze zapisati kao proizovd prostih brojeva npr [inlmath]16[/inlmath]
[inlmath]16\cdot 1=16\\
8\cdot 2=16\\
4\cdot 4=16[/inlmath]
Kako god okrenem ne mogu ga dobiti kao proizvod dva prosta broja. Mogu ovako [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16[/inlmath]. Ali to mi u ovome zadatku nista ne znaci. Jer je ovde rjec o dva prosta broja.
2 stvar
To da lijeva i desna strana jednacine mogu se predstaviti kao proizovd prostih brojeva . Kako kada [inlmath]1000[/inlmath] nije prost broj i bilo koji broj pomnozen sa [inlmath]1000[/inlmath] mora biti slozen broj a ne prost.

Ja sam ovaj zadatak ovako nekako shvatio.
[dispmath]1000x=(7x-1)y[/dispmath][dispmath]y=\frac{1000x}{7x-1}[/dispmath]
E sada iz cinjenice da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] moraju biti cijeli trocifreni brojevi (jer jedino zadatak tada ima smisla). Kada znamo da [inlmath]y[/inlmath] da mora biti cio broj a [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] su uzajamno prosti (ne mogu se skratiti). Tada je uslov da [inlmath]y[/inlmath] bude cio broj da se [inlmath]1000[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] moraju pokratiti skroz.Da nema [inlmath]7x-1[/inlmath] u nazivniku nikako. A to je moguce samo kada je [inlmath]x=143[/inlmath] jer i on mora biti trocifren broj.

Gamma je napisao:Moguce je da su bas isti zadaci. Daniele nisam znao za ovu temu. Mozda cak da sam ranije vidio ovo ne bih ni otvarao.

Ništa ne smeta što si otvorio još jednu temu, ovako smo saznali za tačan tekst tog zadatka, a videli smo i još jedan način rešavanja.

Gamma je napisao:

Znas da se svaki broj moze predstaviti kao proizvod prostih brojeva – otuda i sve sa leve i sa desne strane moze se predstaviti kao proizvod prostih brojeva

Ovde me zbunjuju 2 stvari.
1 stvar to da se svaki broj moze zapisati kao proizovd prostih brojeva npr [inlmath]16[/inlmath]
[inlmath]16\cdot 1=16\\
8\cdot 2=16\\
4\cdot 4=16[/inlmath]
Kako god okrenem ne mogu ga dobiti kao proizvod dva prosta broja. Mogu ovako [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16[/inlmath]. Ali to mi u ovome zadatku nista ne znaci. Jer je ovde rjec o dva prosta broja.

Govorimo, dakle, o brojevima [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath]. Nigde nije rečeno da su oni prosti, rečeno je samo da su uzajamno prosti, a to nije isto. Uzajamno prosti su oni brojevi koji nemaju zajedničke činioce veće od [inlmath]1[/inlmath]. To znači, kad bi i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] napisao kao proizvod prostih činilaca (na isti način na koji si [inlmath]16[/inlmath] napisao kao [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2[/inlmath]), tada nijedan činilac broja [inlmath]x[/inlmath] ne bi bio jednak nijednom činiocu broja [inlmath]7x-1[/inlmath]. (Ako treba dokaz da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] uzajamno prosti, napisaću.) E sad, pošto znamo da važi jednakost
[dispmath]1000x=\left(7x-1\right)y[/dispmath]
ako bismo [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] napisali u obliku njihovih prostih činilaca, [inlmath]x=a_1a_2\cdots a_m[/inlmath] i [inlmath]7x-1=b_1b_2\cdots b_n[/inlmath], pri čemu je [inlmath]a_i\ne b_j[/inlmath], tada prethodna jednačina postaje
[dispmath]1000a_1a_2\cdots a_m=b_1b_2\cdots b_ny[/dispmath]
pa zaključujemo da, pošto nijedan od prostih činilaca [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath] na desnoj strani ne može biti jednak nijednom od prostih činilaca [inlmath]a_1a_2\cdots a_m[/inlmath] na levoj strani, tada prosti činioci [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath] na desnoj strani moraju biti jednaki nekima od prostih činilaca broja [inlmath]1000[/inlmath]. Drugim rečima, broj [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath], a to je [inlmath]7x-1[/inlmath], mora se sadržati u broju [inlmath]1000[/inlmath], tj. [inlmath]1000[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]7x-1[/inlmath].

Gamma je napisao:2 stvar
To da lijeva i desna strana jednacine mogu se predstaviti kao proizovd prostih brojeva . Kako kada [inlmath]1000[/inlmath] nije prost broj i bilo koji broj pomnozen sa [inlmath]1000[/inlmath] mora biti slozen broj a ne prost.

Na ovo sam ti, zapravo, već i odgovorio u odgovoru na prethodno pitanje. Znači, [inlmath]1000[/inlmath] nije prost broj, niti bilo koji broj pomnožen sa [inlmath]1000[/inlmath], ali se [inlmath]1000[/inlmath] može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, tj. proizvod njegovih prostih činilaca: [inlmath]1000=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5[/inlmath]. Tako da bi leva strana jednačine tada bila [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot a_1a_2\cdots a_m[/inlmath], tj. tako bi izgledala predstavljena kao proizvod prostih brojeva.

Gamma je napisao:Ja sam ovaj zadatak ovako nekako shvatio.
[dispmath]1000x=(7x-1)y[/dispmath][dispmath]y=\frac{1000x}{7x-1}[/dispmath]
E sada iz cinjenice da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] moraju biti cijeli trocifreni brojevi (jer jedino zadatak tada ima smisla). Kada znamo da [inlmath]y[/inlmath] da mora biti cio broj a [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] su uzajamno prosti (ne mogu se skratiti). Tada je uslov da [inlmath]y[/inlmath] bude cio broj da se [inlmath]1000[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] moraju pokratiti skroz.Da nema [inlmath]7x-1[/inlmath] u nazivniku nikako. A to je moguce samo kada je [inlmath]x=143[/inlmath] jer i on mora biti trocifren broj.

To je isti taj rezon, samo drugim rečima objašnjen. Dakle, to da „nema [inlmath]7x-1[/inlmath] u nazivniku nikako“, to znači da je [inlmath]1000[/inlmath] deljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath]. Da kojim slučajem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] nisu uzajamno prosti, tada ne bismo imali neophodan uslov da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath], već bi bilo dovoljno da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo onim faktorom broja [inlmath]7x-1[/inlmath] koji bi preostao u imeniocu nakon skraćivanja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath]. Zato je i bilo bitno naglasiti da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] jesu uzajamno prosti, jer je tada neophodan uslov da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo ne nekim faktorom broja [inlmath]7x-1[/inlmath], već upravo brojem [inlmath]7x-1[/inlmath].

Znam da za uzajamno prosta dva broja ne znaci da oni moraju biti prosti. To znaci da nemaju zajednickog djelioca . E aj ako ti nije problem daj neko objasnjenje (dokaz) da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] uzajamno prosti. Jer ja to ne razumijem jedino sto mogu je da uvrstim neki broj i da to zakljucim a neki dokaz za sve brojeve da to vazi ne znam postaviti.

Pretpostavimo suprotno, da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] nisu uzajamno prosti, tj. da postoji neki prirodan broj [inlmath]a[/inlmath] (različit od jedinice i ne obavezno prost) koji predstavlja zajednički činilac brojeva [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath], tj. [inlmath]x=ab[/inlmath] i [inlmath]7x-1=ac[/inlmath], gde su [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi.

Tada bi se broj [inlmath]7x-1[/inlmath] mogao napisati kao
[dispmath]7x-1=7ab-1=a\underbrace{\left(7b-\frac{1}{a}\right)}_c\quad\Rightarrow\quad c=7b-\frac{1}{a}[/dispmath]
Broj [inlmath]7b-\frac{1}{a}[/inlmath] predstavlja razliku celog broja i broja iz intervala [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], a ta razlika nije ceo broj. Ovime je pokazano da [inlmath]c[/inlmath] nije ceo broj, što je suprotno polaznoj pretpostavci. Time smo došli do kontradikcije i zaključujemo da je pretpostavka da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] nisu uzajamno prosti – pogrešna, to jest da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] jesu uzajamno prosti.

Mogu ti reci da si mi sada to malo rastumacio...