Evo imam jedan zadatak gdje sam jako blizu mislim da sam ga uradio ali ipak jedan dio zadatka mi nije jasan.

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 2. razred

Dokazi da se broj [inlmath]101010[/inlmath] ne moze predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. Ja sam radio ovako..
[dispmath]101010=a^2-b^2[/dispmath][dispmath]101010=(a+b)(a-b)[/dispmath]
E sada znamo za [inlmath]101010[/inlmath] da je paran broj a paran broj se moze postici proizvodom dva parna ili jednog parnog a drugog neparnog broja znaci proizvod dva neparna broja je uvijek neparan broj. Stvar je u tome sto brojevi [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath](a-b)[/inlmath] moraju biti iste parnosti.Ovde je i problem. Ne znam kako ovo dokazati. I onda je logicno da moramo imati proizvod dva parna broja tako da [inlmath]101010[/inlmath] mora biti biti djeljiv sa [inlmath]4[/inlmath] (jer je proizvod svaka dva parna broja djeljiv sa [inlmath]4[/inlmath]) a ta tvrdnja je netacna da je [inlmath]101010[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]4[/inlmath] . I sa time ovaj dokaz je zavrsen

Gamma je napisao:Stvar je u tome sto brojevi [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath](a-b)[/inlmath] moraju biti iste parnosti.Ovde je i problem. Ne znam kako ovo dokazati.

[inlmath]\left(a+b\right)[/inlmath] se može predstaviti kao [inlmath]\left(a-b\right)+2b[/inlmath]. Pošto je [inlmath]2b[/inlmath] paran broj, a dodavanjem parnog broja nekom broju se ne menja parnost, zaključujemo da su brojevi [inlmath]\left(a+b\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(a-b\right)[/inlmath] iste parnosti.
Ako je baš potrebno terati mak na konac, pa dokazivati i da se dodavanjem parnog broja ne menja parnost, može i to:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]a[/inlmath] neparno, tj. [inlmath]a=2k+1,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]
[dispmath]a+2b=2k+1+2b=2\underbrace{\left(k+b\right)}_c+1=2c+1,\;c\in\mathbb{Z}[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;c[/inlmath] je neparno.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]a[/inlmath] parno, tj. [inlmath]a=2k,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]
[dispmath]a+2b=2k+2b=2\underbrace{\left(k+b\right)}_c=2c,\;c\in\mathbb{Z}[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;c[/inlmath] je parno.

---

A možeš i na drugi način, tako što ćeš za svaki od četiri slučaja parnosti broja [inlmath]a[/inlmath] i parnosti broja [inlmath]b[/inlmath],
[inlmath]\begin{array}{lll}
I & a=2k+1, & b=2k+1\\
II & a=2k+1, & b=2k\\
III & a=2k, & b=2k+1\\
IV & a=2k, & b=2k
\end{array}[/inlmath]
ispitivati parnost brojeva [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath](a-b)[/inlmath] i doći do toga da su u sva četiri slučaja isti po parnosti...

E za ovo bi se moglo reci da mi je jasno