MATEMANIJA

Evo imam jedan zadatak gdje sam jako blizu mislim da sam ga uradio ali ipak jedan dio zadatka mi nije jasan.

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 2. razred

Dokazi da se broj [inlmath]101010[/inlmath] ne moze predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. Ja sam radio ovako..
[dispmath]101010=a^2-b^2[/dispmath][dispmath]101010=(a+b)(a-b)[/dispmath]
E sada znamo za [inlmath]101010[/inlmath] da je paran broj a paran broj se moze postici proizvodom dva parna ili jednog parnog a drugog neparnog broja znaci proizvod dva neparna broja je uvijek neparan broj. Stvar je u tome sto brojevi [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath](a-b)[/inlmath] moraju biti iste parnosti.Ovde je i problem. Ne znam kako ovo dokazati. I onda je logicno da moramo imati proizvod dva parna broja tako da [inlmath]101010[/inlmath] mora biti biti djeljiv sa [inlmath]4[/inlmath] (jer je proizvod svaka dva parna broja djeljiv sa [inlmath]4[/inlmath]) a ta tvrdnja je netacna da je [inlmath]101010[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]4[/inlmath] . I sa time ovaj dokaz je zavrsen

Gamma je napisao:Stvar je u tome sto brojevi [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath](a-b)[/inlmath] moraju biti iste parnosti.Ovde je i problem. Ne znam kako ovo dokazati.

[inlmath]\left(a+b\right)[/inlmath] se može predstaviti kao [inlmath]\left(a-b\right)+2b[/inlmath]. Pošto je [inlmath]2b[/inlmath] paran broj, a dodavanjem parnog broja nekom broju se ne menja parnost, zaključujemo da su brojevi [inlmath]\left(a+b\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(a-b\right)[/inlmath] iste parnosti.
Ako je baš potrebno terati mak na konac, pa dokazivati i da se dodavanjem parnog broja ne menja parnost, može i to:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]a[/inlmath] neparno, tj. [inlmath]a=2k+1,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]
[dispmath]a+2b=2k+1+2b=2\underbrace{\left(k+b\right)}_c+1=2c+1,\;c\in\mathbb{Z}[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;c[/inlmath] je neparno.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]a[/inlmath] parno, tj. [inlmath]a=2k,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]
[dispmath]a+2b=2k+2b=2\underbrace{\left(k+b\right)}_c=2c,\;c\in\mathbb{Z}[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;c[/inlmath] je parno.

---

A možeš i na drugi način, tako što ćeš za svaki od četiri slučaja parnosti broja [inlmath]a[/inlmath] i parnosti broja [inlmath]b[/inlmath],
[inlmath]\begin{array}{lll}
I & a=2k+1, & b=2k+1\\
II & a=2k+1, & b=2k\\
III & a=2k, & b=2k+1\\
IV & a=2k, & b=2k
\end{array}[/inlmath]
ispitivati parnost brojeva [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath](a-b)[/inlmath] i doći do toga da su u sva četiri slučaja isti po parnosti...

E za ovo bi se moglo reci da mi je jasno