MATEMANIJA

1. ZADATAK: Nadji sve prirodne brojeve [inlmath]x[/inlmath] za koje vrijedi jednakost:
a) [inlmath]2nx=(n+1)x+6[/inlmath]
b) [inlmath]n(x-n)=x+7[/inlmath]

2. ZADATAK: Rijesi jednacinu:
[dispmath]\frac{x-20}{1981}+\frac{x-18}{1983}+\frac{x-16}{1985}+\frac{x-14}{1987}+\frac{x-12}{1989}=\frac{x-1981}{20}+\frac{x-1983}{18}+\frac{x-1985}{16}+\frac{x-1987}{14}+\frac{x-1989}{12}[/dispmath]
3. ZADATAK: Rijesi jednacinu [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a+b-x}{c}+\frac{a+c-x}{b}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{4x}{a+b+c}=1;\;a,b,c\ne 0,\;a+b+c\ne 0[/dispmath]
Ako mozete uraditi i koji zadatak, jer mi treba hitno , za sutra .

Evo trećeg zasad, uz krajnje dobronamernu preporuku da ubuduće ovo ne ostavljaš za poslednji čas.

Takođe, zamolio bih te za tačan tekst 1. zadatka. U zadatku mora biti navedeno šta predstavlja [inlmath]n[/inlmath]. I ako [inlmath]n[/inlmath] predstavlja prirodan broj, da li je to prirodan broj iz nekog intervala, ili iz celog skupa prirodnih brojeva?
[dispmath]\frac{a+b-x}{c}+\frac{a+c-x}{b}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{4x}{a+b+c}=1[/dispmath][dispmath]\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}-\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)x+\frac{4x}{a+b+c}=1[/dispmath][dispmath]\frac{ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)}{abc}-\frac{ab+ac+bc}{abc}x+\frac{4x}{a+b+c}=1\quad /\cdot abc\left(a+b+c\right)[/dispmath][dispmath]\left(a+b+c\right)\left[ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\right]-\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)x+4abcx=abc\left(a+b+c\right)[/dispmath][dispmath]\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)x-4abcx=\left(a+b+c\right)\left[ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\right]-abc\left(a+b+c\right)[/dispmath][dispmath]\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)-4abc\right]x=\left(a+b+c\right)\left[ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\right]-abc\left(a+b+c\right)[/dispmath][dispmath]x=\frac{\left(a+b+c\right)\left[ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\right]-abc\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)-4abc}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\left(a+b+c\right)\left[ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)-abc\right]}{\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)-4abc}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-abc\right)}{a^2b+a^2c+abc+ab^2+abc+b^2c+abc+ac^2+bc^2-4abc}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-abc\right)}{a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2-abc}[/dispmath][dispmath]x=a+b+c[/dispmath]

midho14 je napisao:2. ZADATAK: Rijesi jednacinu:
[dispmath]\frac{x-20}{1981}+\frac{x-18}{1983}+\frac{x-16}{1985}+\frac{x-14}{1987}+\frac{x-12}{1989}=\frac{x-1981}{20}+\frac{x-1983}{18}+\frac{x-1985}{16}+\frac{x-1987}{14}+\frac{x-1989}{12}[/dispmath]

[dispmath]\left(\frac{x-20}{1981}-\frac{x-1981}{20}\right)+\left(\frac{x-18}{1983}-\frac{x-1983}{18}\right)+\left(\frac{x-16}{1985}-\frac{x-1985}{16}\right)+\\
+\left(\frac{x-14}{1987}-\frac{x-1987}{14}\right)+\left(\frac{x-12}{1989}-\frac{x-1989}{12}\right)=0[/dispmath][dispmath]\frac{20x-20^2-1981x+1981^2}{1981\cdot 20}+\frac{18x-18^2-1983x+1983^2}{1983\cdot 18}+\frac{16x-16^2-1985x+1985^2}{1985\cdot 16}+\\
+\frac{14x-14^2-1987x+1987^2}{1987\cdot 14}+\frac{12x-12^2-1989x+1989^2}{1989\cdot 12}=0[/dispmath][dispmath]\frac{-1961x+\left(1981^2-20^2\right)}{1981\cdot 20}+\frac{-1965x+\left(1983^2-18^2\right)}{1983\cdot 18}+\frac{-1969x+\left(1985^2-16^2\right)}{1985\cdot 16}+\\
+\frac{-1973x+\left(1987^2-14^2\right)}{1987\cdot 14}+\frac{-1977x+\left(1989^2-12^2\right)}{1989\cdot 12}=0[/dispmath][dispmath]\frac{-1961x+\left(1981+20\right)\left(1981-20\right)}{1981\cdot 20}+\frac{-1965x+\left(1983+18\right)\left(1983-18\right)}{1983\cdot 18}+\\
+\frac{-1969x+\left(1985+16\right)\left(1985-16\right)}{1985\cdot 16}+\frac{-1973x+\left(1987+14\right)\left(1987-14\right)}{1987\cdot 14}+\\
+\frac{-1977x+\left(1989+12\right)\left(1989-12\right)}{1989\cdot 12}=0[/dispmath][dispmath]\frac{-1961x+2001\cdot 1961}{1981\cdot 20}+\frac{-1965x+2001\cdot 1965}{1983\cdot 18}+\frac{-1969x+2001\cdot 1969}{1985\cdot 16}+\\
+\frac{-1973x+2001\cdot 1973}{1987\cdot 14}+\frac{-1977x+2001\cdot 1977}{1989\cdot 12}=0[/dispmath][dispmath]\frac{1961\left(2001-x\right)}{1981\cdot 20}+\frac{1965\left(2001-x\right)}{1983\cdot 18}+\frac{1969\left(2001-x\right)}{1985\cdot 16}+\frac{1973\left(2001-x\right)}{1987\cdot 14}+\frac{1977\left(2001-x\right)}{1989\cdot 12}=0[/dispmath][dispmath]\left(2001-x\right)\left(\frac{1961}{1981\cdot 20}+\frac{1965}{1983\cdot 18}+\frac{1969}{1985\cdot 16}+\frac{1973}{1987\cdot 14}+\frac{1977}{1989\cdot 12}\right)=0[/dispmath]
Pošto je izraz u desnoj zagradi očigledno veći od nule,
[dispmath]2001-x=0[/dispmath][dispmath]x=2001[/dispmath]

midho14 je napisao:1. ZADATAK: Nadji sve prirodne brojeve [inlmath]x[/inlmath] za koje vrijedi jednakost:
a) [inlmath]2nx=(n+1)x+6[/inlmath]
b) [inlmath]n(x-n)=x+7[/inlmath]

Kao što već rekoh, meni ovaj zadatak izgleda nedorečen, ne zna se šta je [inlmath]n[/inlmath]. Kao jedino logično tumačenje mi izgleda to, da treba odrediti prirodan broj [inlmath]x[/inlmath], takav da postoji neki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] za koji su ove jednakosti zadovoljene, te u tom slučaju za dobijeno [inlmath]x[/inlmath] treba odrediti i koliko bi bilo to [inlmath]n[/inlmath].

a)
[dispmath]2nx=\left(n+1\right)x+6[/dispmath][dispmath]2nx=nx+x+6[/dispmath][dispmath]nx-x=6[/dispmath][dispmath]\left(n-1\right)x=6[/dispmath][dispmath]x=\frac{6}{n-1}[/dispmath]
Iz ovoga sledi da [inlmath]\left(n-1\right)[/inlmath] mora biti delilac broja [inlmath]6[/inlmath]. Delioci broja [inlmath]6[/inlmath] su [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath].

[inlmath]n-1=1\quad\Rightarrow\quad n=2,\; x=6[/inlmath]
[inlmath]n-1=2\quad\Rightarrow\quad n=3,\; x=3[/inlmath]
[inlmath]n-1=3\quad\Rightarrow\quad n=4,\; x=2[/inlmath]
[inlmath]n-1=6\quad\Rightarrow\quad n=7,\; x=1[/inlmath]

tj. rešenja su [inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]x=2[/inlmath], [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]x=6[/inlmath]

b)
[dispmath]n\left(x-n\right)=x+7[/dispmath][dispmath]nx-n^2=x+7[/dispmath][dispmath]nx-x=n^2+7[/dispmath][dispmath]\left(n-1\right)x=n^2+7[/dispmath][dispmath]x=\frac{n^2+7}{n-1}=\frac{n^2-n+n+7}{n-1}=\frac{n^2-n}{n-1}+\frac{n+7}{n-1}=n+\frac{n-1+8}{n-1}=n+\frac{n-1}{n-1}+\frac{8}{n-1}=n+1+\frac{8}{n-1}[/dispmath]
[inlmath]\left(n-1\right)[/inlmath] mora biti delilac broja [inlmath]8[/inlmath]. Delioci broja [inlmath]8[/inlmath] su [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]8[/inlmath].

[inlmath]n-1=1\quad\Rightarrow\quad n=2,\; x=11[/inlmath]
[inlmath]n-1=2\quad\Rightarrow\quad n=3,\; x=8[/inlmath]
[inlmath]n-1=4\quad\Rightarrow\quad n=5,\; x=8[/inlmath]
[inlmath]n-1=8\quad\Rightarrow\quad n=9,\; x=11[/inlmath]

tj. rešenja su [inlmath]x=8[/inlmath] i [inlmath]x=11[/inlmath]


Ali, opet naglašavam, moguće je da nisam dobro protumačio zadatak...