MATEMANIJA

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 3. razred

Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine [inlmath]3^x-2^y=1[/inlmath].

U pitanju je ovaj zadatak sa takmičenja.Ja bih samo ovo radio na blef ono trazim napamet [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] za koje vrijedi ova jednakost.Zapravo tu i jeste problem.Ne znam koliko ih ima mogu npr napamet naći jedno ali kako da znam koliko ima još?Znači interesuje me kako je zaključeno u ovome rješenju da jednačina nema više rješenja. To nekako ide preko sabiraka ali to ne razumijem nikako.I ovo rastavljanje preko sabiraka mi nije jasno.Rješenje imam već samo ako neko može malo da mi ovo rastumači bilo bi dobro.

Rješenje:
[dispmath]3^x-2^y=1\;\leftrightarrow\;3^x-1=2^y\;\leftrightarrow\;(3-1)\left(3^{x-1}+3^{x-2}+\cdots +3+1\right)=2^y[/dispmath]
1)
[dispmath]\underbrace{3^{x-1}+3^{x-2}+\cdots +3+1}_{x\;\mathrm{sabiraka}}=2^{y-1}[/dispmath]
Iz ovoga zaključujemo da [inlmath]x[/inlmath] može biti [inlmath]1[/inlmath] ili paran broj
[dispmath]x=1\;\Longrightarrow\;3^0=2^{y-1}\;\Longrightarrow\;1=2^{y-1}\;\Longrightarrow\;y=1\;\Longrightarrow\;(x,y)=(1,1)[/dispmath]
2)
[dispmath]x=2k,\;k\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;3^x-2^y=1\;\Longrightarrow\;3^{2k-1}-1=2^y\;\Longrightarrow\;\left(3^2-1\right)\left(3^{2k-2}+3^{2k-3}+\cdots +3^2+1\right)=2^y[/dispmath][dispmath]\underbrace{3^{2k-2}+3^{2k-3}+\cdots +3^2+1}_{k\;\mathrm{sabiraka}}=2^{y-3}[/dispmath]
3) Ako je [inlmath]k[/inlmath] neparan broj,tj tada je [inlmath]2^{y-3}[/inlmath] neparan,što je jedino moguće za [inlmath]y=3[/inlmath], pa je [inlmath](x,y)=(2,3)[/inlmath]

4) Ako je [inlmath]k[/inlmath] paran broj ,tj [inlmath]k=2p[/inlmath] tada je [inlmath]x=4p[/inlmath]. Imamo:
[dispmath]3^{4p}-2^y=1\;\leftrightarrow\;81^p-1=2^y\;\leftrightarrow\;(80)\left(81^{p-1}+81^{p-2}+\cdots +81+1\right)=2^y[/dispmath]
5) Kako je lijeva strana djeljiva sa [inlmath]5[/inlmath] a desna nije zaključujemo da jednačina nema više cjelobrojnih rješenja. Dakle rješenja date jednačine su [inlmath](x,y)={(1,1),(2,3)}[/inlmath]

Ovde je primenjena jedna od ne tako često korišćenih algebarskih formula,
[dispmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)[/dispmath]
(razlika [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena)

Imaš je u temi o algebarskim identitetima (pogledaj dole, pod „složeniji algebarski identiteti“).

U ovom zadatku je korišćen uprošćen oblik te formule, za slučaj kada je [inlmath]b=1[/inlmath], te se formula tada svodi na
[dispmath]a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+\cdots +a^2+a+1\right)[/dispmath]
U napisanom rešenju, inače, ima nekoliko grešaka. Umesto
[dispmath]x=2k,\;k\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;3^x-2^y=1\;\Longrightarrow\;3^{\color{red}2k-1}-1=2^y\;\Longrightarrow\;\left(3^2-1\right)\left(3^{2k-2}+3^{2k-{\color{red}3}}+\cdots +3^2+1\right)=2^y[/dispmath]
treba da stoji
[dispmath]x=2k,\;k\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;3^x-2^y=1\;\Longrightarrow\;3^{\color{red}2k}-1=2^y\;\Longrightarrow\;\left(3^2-1\right)\left(3^{2k-2}+3^{2k-{\color{red}4}}+\cdots +3^2+1\right)=2^y[/dispmath]
i takođe umesto
[dispmath]\underbrace{3^{2k-2}+3^{2k-{\color{red}3}}+\cdots +3^2+1}_{k\;\mathrm{sabiraka}}=2^{y-3}[/dispmath]
treba da stoji
[dispmath]\underbrace{3^{2k-2}+3^{2k-{\color{red}4}}+\cdots +3^2+1}_{k\;\mathrm{sabiraka}}=2^{y-3}[/dispmath]
Ostalo je u redu.

Da li te možda ovo zbunjivalo? Da li bi sada mogao da ispratiš priloženo rešenje?

Koliko vidim taj algebarski identitet ima veze sa kombinatorikom.Ovo je 3-ći razred. A kombinatorika se nešto malo radi u prvom i tek detaljnije u četvrtom razredu.Primjetio sam kada sam uvrštavao da nešto ne štima.U ovome zadatku se sve vrti oko toga algebarskoga identiteta. Jer ako njega razumiješ ostalo i nije neki problem. Ovo me zbunjuje "Iz ovoga zaključujemo da [inlmath]x[/inlmath] može biti [inlmath]1[/inlmath] ili paran broj". Predpostavio sam ja tu nešto da lijeva strana mora biti djeljiva sa [inlmath]2[/inlmath] ili još tačnije da se može prikazati kao stepen broja [inlmath]2[/inlmath].Tek tada to i ima smisla. Ovde ispada da samo [inlmath]3^{x-1}[/inlmath] zavisi za [inlmath]2^{y-1}[/inlmath] a ostalo ne zavisi.Zapravo nije mi najjasniji taj algebarski identitet. Postoji li neko objašnjenje da nema veze s kombinatorikom?

Nema mnogo veze s kombinatorikom. Znaš li deljenje polinoma? E, podeli [inlmath]a^n-b^n[/inlmath] sa [inlmath]a-b[/inlmath]:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b\;\cdots\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-}\cdots[/inlmath]

Možeš nastaviti dalje, uočiti pravilnost i na kraju dobiti da je količnik ova dva polinoma jednak [inlmath]a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}[/inlmath] s ostatkom [inlmath]0[/inlmath].

Ili, posmatranu formulu možeš dokazati tako što jednostavno pomnožiš polinome [inlmath]a-b[/inlmath] i [inlmath]a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}[/inlmath] i, nakon skraćivanja niza sabiraka, kao njihov proizvod ćeš dobiti [inlmath]a^n-b^n[/inlmath].

Formule koje su ti dobro poznate, [inlmath]a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)[/inlmath] i [inlmath]a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath], predstavljaju specijalne slučajeve ove formule, kad se uvrsti [inlmath]n=2[/inlmath], odnosno [inlmath]n=3[/inlmath].

Gamma je napisao:Ovo me zbunjuje "Iz ovoga zaključujemo da [inlmath]x[/inlmath] može biti [inlmath]1[/inlmath] ili paran broj".

Ovo jeste u rešenju malo nespretno objašnjeno. Znači, došli smo do
[dispmath]\underbrace{3^{x-1}+3^{x-2}+\cdots +3+1}_{x\;\mathrm{sabiraka}}=2^{y-1}[/dispmath]
Uočavamo da su na levoj strani svi sabirci neparni (svi stepeni trojke su neparni i jedinica je neparna), dok je desna strana parna kada je [inlmath]y-1\ge 1[/inlmath], odnosno neparna kada je [inlmath]y-1=0[/inlmath] (tj. tada je desna strana jednaka jedinici). Znači, zaključujemo:

1) Kada je [inlmath]y-1=0[/inlmath], tada je desna strana jednaka jedinici, pa i leva strana mora biti jednaka jedinici, a to će biti slučaj kada na levoj strani imamo samo jedan sabirak (jedinicu), a pošto je broj sabiraka na levoj strani jednak nepoznatoj [inlmath]x[/inlmath], to znači da je tada [inlmath]x=1[/inlmath]. Tako smo došli do rešenja [inlmath]\left(x,y\right)=\left(1,1\right)[/inlmath].

2) Kada je [inlmath]y-1\ge 1[/inlmath], tada je desna strana parna, pa parna mora biti i leva strana. Pošto na levoj strani imamo sve neparne sabirke, to znači da broj tih sabiraka mora biti paran kako bi njihov zbir bio paran broj. A pošto je broj sabiraka na levoj strani jednak nepoznatoj [inlmath]x[/inlmath], zaključujemo da tada [inlmath]x[/inlmath] mora biti parno.

Gamma je napisao:Ovde ispada da samo [inlmath]3^{x-1}[/inlmath] zavisi za [inlmath]2^{y-1}[/inlmath] a ostalo ne zavisi.

Žao mi je, ali zaista nemam vremena da dešifrujem ovako konfuzno napisane rečenice. Ako želiš da ti se pomogne, piši jasno, i pre slanja poruke pročitaj još jednom post koji si napisao stavivši se u poziciju nekoga ko to treba da pročita – i ako uočiš nerazumljive rečenice, onda ih koriguj tako da budu jasnije. Ja bar tako uvek radim kad pišem neki post i mislim da to zaista nije teško.

To konfuzno pitanje sam postavio jer nisam razumio dobro te sabirke. Mislio sam kada je [inlmath]x=1[/inlmath]
[dispmath]3^{x-1}=2^{y-1}\\
3^0=2^{y-1}\\
1=2^{y-1}\\
\enclose{box}{y=1}[/dispmath]
A [inlmath]3^{x-1}[/inlmath] je upravo prvi sabirak i jer je [inlmath]x=1[/inlmath] i on mora da bude [inlmath]1[/inlmath] da se ne bi ništa promjenilo.
Ne moraš to dešifrovati,uvijek takva pitanja nastaju usljed nerazumevanja.

Znam djeljenje polinoma. Ako može malo deatljnije o tome. Ja kada djelim dobijem da je rezultat [inlmath]a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2[/inlmath] i tako u beskonačnost uopšte ne znam kako da dođem do kraja sa [inlmath]a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}[/inlmath]i kako da zaključim da je ostatak [inlmath]0[/inlmath]. Sigurno ima neko objašnjenje preko nizova jer kada ovako radim uvijek se ispetljam.

OK, znači, posmatraš jednačinu
[dispmath]\underbrace{3^{x-1}+3^{x-2}+\cdots +3+1}_{x\;\mathrm{sabiraka}}=2^{y-1}[/dispmath]
Kad ti je poznata vrednost [inlmath]x[/inlmath], ne moraš ga uvrštavati u [inlmath]3^{x-1}[/inlmath], već brojiš sabirke zdesna nalevo na levoj strani, njih ima onoliko koliko je [inlmath]x[/inlmath]. Pri tome, prvi od tih sabiraka kako ih brojiš zdesna nalevo, tj. onaj kranji desno, uvek je [inlmath]1[/inlmath]. Npr. za [inlmath]x=3[/inlmath], to bi bilo [inlmath]3^2+3+1[/inlmath], za [inlmath]x=2[/inlmath] bi bilo [inlmath]3+1[/inlmath], a za [inlmath]x=1[/inlmath] biće samo [inlmath]1[/inlmath].

Što se tiče deljenja polinoma, znači, kao što sam u prethodnom postu započeo, a sad ću malo nastaviti,

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2\cdots\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\cdots[/inlmath]

I, sad već možemo uočiti pravilnost. Ovi izrazi za koje proveravamo koliko se puta [inlmath]\left(a-b\right)[/inlmath] u njima sadrži, iznose, redom, [inlmath]a^n-b^n,\;a^{n-1}b-b^n,\;a^{n-2}b^2-b^n,\;\cdots[/inlmath] tj. sastoji se iz dva sabirka – u prvom sabirku se eksponent kod [inlmath]a[/inlmath] svaki put smanji za [inlmath]1[/inlmath], a eksponent kod [inlmath]b[/inlmath] svaki put poveća za [inlmath]1[/inlmath], dok je drugi sabirak uvek isti i iznosi [inlmath]b^n[/inlmath]. Na taj način zaključujemo da će se taj izraz svaki put tako menjati i tako dolazimo do pred kraj, kada izraz postaje [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath]:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}ab^{n-1}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}\underline{ab^{n-1}-b^n}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-ab^{n-1}-}0[/inlmath]

Jedino što ne razumijem u zadatku je priča oko tih sabiraka i ono oko polinoma. Kažeš [inlmath]x[/inlmath] ne mora se uvrštavati u [inlmath]3^{x-1}[/inlmath]. Oni u rješenju su tako uradili. Zapravo ima li to smisla? Znam da to treba da bude zadnji sabirak a u našem slučaju i zadnji i prvi. To za brojanje sabiraka mi je jasno.A što se tiče polinoma nije mi jasno ono podvučeno sa minusom. Odkuda minus? Ako može malo detaljnije o tome.

Gamma je napisao:Kažeš [inlmath]x[/inlmath] ne mora se uvrštavati u [inlmath]3^{x-1}[/inlmath]. Oni u rješenju su tako uradili. Zapravo ima li to smisla?

Ima smisla i tako, nego sam ti pokazao i drugi način, pa biraj koji ti je zgodniji. Možeš u [inlmath]3^{x-1}[/inlmath] da uvrstiš konkretnu vrednost [inlmath]x[/inlmath], zatim znaš da će sledeći sabirak biti [inlmath]3[/inlmath] puta manji, pa sledeći još [inlmath]3[/inlmath] puta manji... i tako dok ne stigneš do jedinice. Naravno, na taj način ćeš ukupno dobiti [inlmath]x[/inlmath] sabiraka.
Na primer, ako je [inlmath]x=3[/inlmath], tada će [inlmath]3^{x-1}[/inlmath] biti [inlmath]3^2[/inlmath], pa ćeš imati [inlmath]3^2+3+1[/inlmath].
Ako je [inlmath]x=2[/inlmath], tada će [inlmath]3^{x-1}[/inlmath] biti [inlmath]3^1[/inlmath], pa ćeš imati [inlmath]3+1[/inlmath].
A ako je [inlmath]x=1[/inlmath], tada će [inlmath]3^{x-1}[/inlmath] biti [inlmath]3^0[/inlmath], pa ćeš imati samo jedan sabirak – jedinicu.

Gamma je napisao:A što se tiče polinoma nije mi jasno ono podvučeno sa minusom. Odkuda minus? Ako može malo detaljnije o tome.

Ajd da ti ne pišem sad opet celo objašnjenje kad ceo postupak već imaš detaljno objašnjen u onoj temi na koju sam ti već linkovao. Jedino što sam ovde [inlmath]a[/inlmath] posmatrao kao [inlmath]x[/inlmath], a [inlmath]b[/inlmath] kao konstantu.

Evo sada sam to pregledao mogu ti reći jasno mi je to jednim djelom oko djeljenja polinoma. To podvučeno je ono što se oduzima od polinoma. Ali opet mi nije jasno, ovo oduzimanje što ide u beskonačnost kako doći do kraja mislim do ovoga [inlmath]a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}[/inlmath] i kako da znam da će ostatak na kraju biti [inlmath]0[/inlmath]? Jer kada oduzimam to ide u beskonačnost ostatka uvijek ima nikada da bude [inlmath]0[/inlmath]. Nema ostatka kada uzem konačan broj [inlmath]n[/inlmath] ali govorimo sada u uopštenom slučaju.

Ajd pokušaću još jednom, pa ako ni posle ovoga ne bude jasno, onda nek pokuša neko drugi ko bi to mogao razumljivije da objasni. Ja razumljivije od ovoga ne umem.

Gamma je napisao:Ali opet mi nije jasno, ovo oduzimanje što ide u beskonačnost kako doći do kraja mislim do ovoga [inlmath]a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}[/inlmath]

Pretpostavljam da ti je dovde jasno:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\cdots[/inlmath]

E, sad tu uočiš, kao što sam ti u prethodnom postu već napisao, da se ovi izrazi koji se dele sa [inlmath]\left(a-b\right)[/inlmath] menjaju po koracima na sledeći način:
[inlmath]a^n-b^n\\
a^{n-1}b-b^n\\
a^{n-2}b^2-b^n\\
\cdots[/inlmath]

Možemo uočiti pravilnost, da je drugi sabirak uvek isti i iznosi [inlmath]-b^n[/inlmath], dok je u prvom sabirku eksponent kod [inlmath]a[/inlmath] svaki put manji za jedan, a eksponent kod [inlmath]b[/inlmath] svaki put veći za jedan. Pri tome, zbir eksponenta kod [inlmath]a[/inlmath] i eksponenta kod [inlmath]b[/inlmath] uvek iznosi [inlmath]n[/inlmath]. Pa ako se eksponent kod [inlmath]a[/inlmath] svaki put smanjuje za jedan, logično je da će u jednom koraku taj eksponent pasti na, recimo, vrednost [inlmath]2[/inlmath], pa ćemo onda nakon onih preskočenih koraka pisati [inlmath]a^2[/inlmath], a pošto smo konstatovali da zbir eksponenta kod [inlmath]a[/inlmath] i eksponenta kod [inlmath]b[/inlmath] mora biti [inlmath]n[/inlmath], to znači da će eksponent kod [inlmath]b[/inlmath] tada biti [inlmath]n-2[/inlmath]. Znači, pišemo [inlmath]a^2b^{n-2}[/inlmath] i još onaj drugi sabirak koji je uvek isti, [inlmath]-b^n[/inlmath], i to onda daje [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath]:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}{\color{blue}a^2b^{n-2}-b^n}[/inlmath]

Gamma je napisao:i kako da znam da će ostatak na kraju biti [inlmath]0[/inlmath]?

Tako lepo što ćeš na kraju postupka dobiti nulu kao ostatak. Pokazao sam to. Ali, evo, još postupnije. Dobili smo, dakle, da [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath] delimo sa [inlmath]a-b[/inlmath]. U izrazu [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath] će se [inlmath]a[/inlmath] sadržati [inlmath]ab^{n-2}[/inlmath] puta, pa u rezultatu, nakon onih tačkica, to i pišemo:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots{\color{blue}+ab^{n-2}}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath]

Sada ispod [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath] dopisujemo proizvod [inlmath]ab^{n-2}[/inlmath] i [inlmath]a-b[/inlmath], a to je [inlmath]a^2b^{n-2}-ab^{n-1}[/inlmath]:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}{\color{blue}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}}[/inlmath]

To oduzmemo,

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}{\color{blue}ab^{n-1}-b^n}[/inlmath]

Sada [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath] delimo sa [inlmath]a-b[/inlmath]. U izrazu [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath] će se [inlmath]a[/inlmath] sadržati [inlmath]b^{n-1}[/inlmath] puta, pa u rezultatu to i dopisujemo:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}{\color{blue}+b^{n-1}}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}ab^{n-1}-b^n[/inlmath]

Sada ispod [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath] dopisujemo proizvod [inlmath]b^{n-1}[/inlmath] i [inlmath]a-b[/inlmath], a to je [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath]:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}ab^{n-1}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}{\color{blue}\underline{ab^{n-1}-b^n}}[/inlmath]

I, kad to oduzmemo, dobijemo da je ostatak jednak nuli:

[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}ab^{n-1}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}\underline{ab^{n-1}-b^n}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-ab^{n-1}-}{\color{blue}0}[/inlmath]

Gamma je napisao:Jer kada oduzimam to ide u beskonačnost ostatka uvijek ima nikada da bude [inlmath]0[/inlmath]. Nema ostatka kada uzem konačan broj [inlmath]n[/inlmath] ali govorimo sada u uopštenom slučaju.

Kakva sad odjednom beskonačnost? [inlmath]n[/inlmath] je neki konačan, prirodan broj.


Toliko od mene, što se ove teme tiče...