MATEMANIJA

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 4. razred

Uopšte ne razumijem smisao zadatka. Šta znači da se broj zapisuje u dekadnom sistemu sa [inlmath](p-1)[/inlmath]-om jedinicom? Mislim šta se podrazumjeva s tim? I ovo pod 2 mi nije jasno kakve veze ima ako je [inlmath]p>5[/inlmath] da [inlmath]10[/inlmath] nije sigurno djeljivo sa [inlmath]p[/inlmath]. Ova priča oko Male Fermaove teoreme mi je jasna nema šta.

Zadatak: Ako je prost broj [inlmath]p[/inlmath] veći od [inlmath]5[/inlmath], dokazati da je broj, koji se u dekadnom sistemu zapisuje sa [inlmath](p-1)[/inlmath]-om jedinicom, djeljiv sa [inlmath]p[/inlmath].

Rješenje:
1. [inlmath]111\ldots1=\frac{999\ldots9}{9}=\frac{100\ldots0-1}{9}=\frac{10^{p-1}-1}{9}[/inlmath]
2. Zbog [inlmath]p>5[/inlmath] [inlmath]10[/inlmath] sigurno nije djeljivo sa [inlmath]p[/inlmath].
3. Na osnovu Male Fermaove teoreme slijedi da je [inlmath]10^{p-1}-1[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]p[/inlmath].

Molim te, počni da koristiš InlineMath tagove za pisanje matematičkih izraza unutar samog pasusa.

Kao što vidiš iz rešenja, zapisivanje broja pomoću [inlmath](p-1)[/inlmath] jedinica podrazumeva da je broj oblika [inlmath]\overbrace{11\dots111}^{p-1\text{ jedinica}}[/inlmath] (mada su to mogli i bolje objasniti).
Broj [inlmath]10[/inlmath] se razlaže na proste činioce kao [inlmath]10=2\times5[/inlmath]. Oblik Fermaove teoreme [inlmath]a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}[/inlmath] se može iskoristiti samo ako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] uzajamno prosti. U ovom slučaju kako je [inlmath]p>5[/inlmath], [inlmath]10[/inlmath] neće sadržati [inlmath]p[/inlmath]. Dakle, [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]10[/inlmath] su uzajamno prosti.

Dobro nije problem.Inače koristio sam ih u drugim temama.Ali za ovu sam bio malo požurio.Bezveze...
Hmm, i dalje me to zbunjuje taj zapis pomoću [inlmath](p-1)[/inlmath] jedinica.Po nekome mome mišljenu ispada da se taj prvobitni dekadni zapis pretvara u binarni zapis.
Ovo za [inlmath]p>5[/inlmath] jasno mi ja sada.Mada oni u rješenju nisu nigdje napisali direktno da je to uslov da [inlmath]10[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] budu uzajmano prosti.
Najbolje bi bilo ako može još malo detaljnije o tome zapisu. Sad npr. [inlmath]7[/inlmath] je prost broj vrijedi [inlmath]7>5[/inlmath], pitanje je kako [inlmath]7[/inlmath] zapisati pomoću [inlmath](p-1)[/inlmath] jedinica?

Gamma je napisao:Hmm, i dalje me to zbunjuje taj zapis pomoću [inlmath](p-1)[/inlmath] jedinica.Po nekome mome mišljenu ispada da se taj prvobitni dekadni zapis pretvara u binarni zapis.

Nema ovaj zadatak nikakve veze s binarnim zapisom. Zašto te to zbunjuje? Jedinica, kao cifra, ne koristi se samo u binarnom sistemu, već i u ostalim brojnim sistemima, uključujući i dekadni.
Broj zapisan pomoću dve jedinice u dekadnom sistemu bio bi jedanaest, broj zapisan pomoću tri jedinice bio bi sto jedanaest, broj zapisan pomoću četiri jedinice bio bi hiljadu sto jedanaest... Stvarno ne razumem zašto te to buni?

Gamma je napisao:Najbolje bi bilo ako može još malo detaljnije o tome zapisu. Sad npr. [inlmath]7[/inlmath] je prost broj vrijedi [inlmath]7>5[/inlmath], pitanje je kako [inlmath]7[/inlmath] zapisati pomoću [inlmath](p-1)[/inlmath] jedinica?

Broj [inlmath]7[/inlmath] se u dekadnom sistemu nikako ne može zapisati jedinicama. Ali, u zadatku se i ne traži da broj [inlmath]p[/inlmath] zapišeš jedinicama, već se posmatra broj od [inlmath]p-1[/inlmath] jedinica – npr. ako bi bilo [inlmath]p=7[/inlmath], tj. ako bi trebalo da zapišeš dekadni broj od [inlmath]\left(7-1\right)[/inlmath] jedinica, to bi bio broj [inlmath]111\:111[/inlmath], koji bi se čitao sto jedanaest hiljada sto jedanaest.

Dobro ako je ovo smisao a koliko vidim da jeste onda je jednostavno. Ne znam uopšte što su spominjali dekadni sistem. To je možda namjerno stavljeno da zbuni nekoga. I kada su se te jedinice spomenule odmah sam pomislio na pretvaranje dekadnog u binarni brojni sistem. Ja da sam izmislio ovaj zadatak ja bih reko broj koji se sastoji od [inlmath](p-1)[/inlmath] jedinice.Ne bih ništa komplikovo s zapisima.