MATEMANIJA

Da li ste znali da i među brojevima postoje prijateljstva ? Legenda kaže da kada su jednog dana upitali Pitagoru šta je prijatelj, on je odgovorio: ''Onaj koji je drugi ja, kao brojevi 220 i 284.

O čemu se radi, na šta je konkretno mislio Pitagora, na vama je da otkrijete!

Zanimljiva tema.

Prijateljski su oni brojevi za koje važi da je zbir pravih delitelja bilo kog od ta dva broja – jednak onom drugom broju.

Pri tome, pravi delitelj nekog broja je bilo koji njegov delitelj koji se razlikuje od samog tog broja.

Pravi delitelji broja [inlmath]220[/inlmath] su [inlmath]1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110[/inlmath] (ne i [inlmath]220[/inlmath]). Kad ih saberemo – dobijemo [inlmath]284[/inlmath].

Pravi delitelji broja [inlmath]284[/inlmath] su [inlmath]1,2,4,71,142[/inlmath]. Njihov zbir je [inlmath]220[/inlmath].

Kakva moć zapažanja!

Broj [inlmath]6[/inlmath] je onda sam sebi prijatelj.

pentagram142857 je napisao:Broj [inlmath]6[/inlmath] je onda sam sebi prijatelj.

Takvi brojevi se nazivaju „savršeni brojevi“ (perfect numbers). Sledeci bi bio [inlmath]28[/inlmath], pa [inlmath]496[/inlmath], a vec za sledeci bih morao da guglam.

Sljedeći bi trebao biti [inlmath]8128[/inlmath] takođe euklidov, a zadnji pronađeni ima preko 40 miliona cifara, pronađen u januaru ove godine, baš sam prije par dana naletio na neki tekst o njima

Kad smo se već dotakli savršenih brojeva dodao bih ovde njihovu vezu sa Mersenovim prostim brojevima (prosti brojevi oblika [inlmath]2^n-1[/inlmath]). Poznato je da ako je [inlmath]2^n-1[/inlmath] prost broj onda je i [inlmath]n[/inlmath] prost broj. Svakom savršenom broju odgovara jedan Mersenov prost broj. Mersenovi prosti brojevi su:
[dispmath]2^2-1=3\\
2^3-1=7\\
2^5-1=31\\
2^7-1=127[/dispmath] I tako dalje, vrednosti [inlmath]n[/inlmath] se nastavljaju poprilično nasumično [inlmath]n\in\{2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,\ldots\}[/inlmath]. Listu svih zasada poznatih Mersenovih prostih brojeva možete pronaći ovde. Ako pogledamo navedene savršene brojeve videćemo obrazac:
[dispmath]6=3\cdot2\\
28=7\cdot2^2\\
496=31\cdot2^4\\
8128=127\cdot2^6[/dispmath] Vidi se da je svaki savršeni broj proizvod Mersenovog prostog broja i nekog stepena broja [inlmath]2[/inlmath], i to ne bilo kog stepena već stepena za [inlmath]1[/inlmath] manji nego što je dvojka kod njemu odgovarajućeg Mersenovog prostog broja, te je veza između savršenih i Mersenovih prostih brojeva sledeća (neka je [inlmath]s[/inlmath] oznaka za savršen broj):
[dispmath]\left(2^n-1\right)\cdot2^{n-1}=s[/dispmath] Postoji i konkretan dokaz ovoga, lako se može pronaći na netu.

P. S. Možda moj post nije dovoljno povezan sa naslovom teme, ali kad sam video da se pominju savršeni brojevi nisam mogao da odolim, a da ne pomenem ovu, po mom mišljenju, neverovatnu vezu.

Da još malo dopunim svoj odgovor. Prijateljstva nisu samo osobina brojeva, već postoje i prijateljski trouglovi. To su trouglovi koji imaju dve jednake stranice. Ako imamo neki skup prijateljskih trouglova gde svi trouglovi imaju jednak isti par stranica onda taj skup nazivamo dobrim skupom prijateljskih trouglova.
No, o ovome možda u nekoj drugoj temi...