MATEMANIJA

Rešiti Diofantovu jednačinu:
[dispmath](210,858)=210x+858y[/dispmath]
Prvo tražimo [inlmath]NZD[/inlmath] (Euklidov algoritam):
[dispmath]858=4\cdot210+18\\
210=11\cdot18+12\\
18=12+6\\
12=6\cdot2\;\Rightarrow\;(210,858)=6[/dispmath]
Zatim određujemo bar jedno rešenje jednačine:
[dispmath]6=18-12=18-(210-11\cdot18)=12\cdot18-210=\\
=12(858-4\cdot210)-210=12\cdot858-210\cdot49\;\Rightarrow\;x_0=-49,\;y_0=12[/dispmath]
Kako zapisati opšte rešenje preko parametra [inlmath]t\in\mathbb{N}[/inlmath]?

Opšte rešenje se dobija iz [inlmath]x_t=x_t+\frac{b}{d},\;y_t=y_0-\frac{a}{d}[/inlmath] gde je [inlmath]a=210,\;b=858,\;d=6[/inlmath]
[dispmath]x_t=-49+143t\\
y_t=12-35t[/dispmath]

A može i ovako:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
x=x_0+at\\
y=y_0+bt
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
x=-49+at\\
y=12+bt
\end{array}[/dispmath]
Pa onda, vraćanjem u jednačinu [inlmath]210x+858y=6[/inlmath]:
[dispmath]\left.210\left(-49+at\right)+858\left(12+bt\right)=6\quad\right/:6\\
35\left(-49+at\right)+143\left(12+bt\right)=1\\
-35\cdot49+35at+143\cdot12+143bt=1\\
35at+143bt+\cancel1=\cancel1\\
35a\cancel t=-143b\cancel t\\
a=\frac{-143b}{35}\\
b=-35\quad\Rightarrow\quad a=143[/dispmath]