MATEMANIJA

Voleo bih da dobijem objasnjenje kako se resava sistem kongruentnih jednacina kada nzd modula nije [inlmath]1[/inlmath]. Kada je nzd [inlmath]1[/inlmath] resi se lako preko KTO, ali cim nzd nije [inlmath]1[/inlmath] ne snalazim se.

Naprimer. zadatak:
[dispmath]x\equiv8\pmod{12}[/dispmath][dispmath]x\equiv5\pmod9[/dispmath][dispmath]x\equiv14\pmod{15}[/dispmath]
Ako neko moze da mi objasni nacin bez svodjenja na KTO. Ovaj zadatak iznad moze tako da se resi, ali kada dodje sistem...
[dispmath]x\equiv21\pmod{36}[/dispmath][dispmath]x\equiv5\pmod8[/dispmath]
Kineska teorema postaje nemocna, trazi drugi metod...

Uvek mozes resiti „peske“. Recimo za taj drugi sistem, iz prve relacije imamo [inlmath]x=21+36k[/inlmath], za [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath], pa ubacivanjem toga u drugu dobijamo (sve gledamo [inlmath]\mod8[/inlmath]): [inlmath]5\equiv x\equiv21+36k\equiv5+4k[/inlmath], odnosno [inlmath]4k\equiv0\pmod8[/inlmath], sto je ekvivalentno sa [inlmath]8\mid4k[/inlmath], tj. sa [inlmath]2\mid k[/inlmath], pa je [inlmath]k=2m[/inlmath], gde [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Vracanjem toga u [inlmath]x=21+36k[/inlmath] dobijamo [inlmath]x=21+72m[/inlmath], gde [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath], odnosno (ako zelis i tako da zapises) [inlmath]x\equiv21\pmod{72}[/inlmath].

A mozes i resiti jednim malim trikom, a to je da svedes obe jednacine na jednacine sa istim ostatkom. Naime, primeti da je druga jednacina ekvivalentna sa [inlmath]x\equiv21\pmod8[/inlmath] (a u prvoj isto imas [inlmath]\equiv21[/inlmath]), te je ovaj sistem ekvivalentan sa tim da i [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]36[/inlmath] dele [inlmath]x-21[/inlmath], sto je ekvivalentno sa tim da [inlmath]\text{NZS}(8,36)\mid x-21[/inlmath], a znamo da je [inlmath]\text{NZS}(8,36)=72[/inlmath]. Dakle, dobili smo da [inlmath]72\mid x-21[/inlmath], odnosno [inlmath]x=21+72k[/inlmath], gde [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath].

Pokusaj sad da resis prvi primer pomocu ova dva nacina, pa javi kako si prosao.

Inace, koliko sam razumeo, tebi je jasan postupak kako kad je [inlmath]\text{NZD}>1[/inlmath] se moze svesti na KTO? Ako jeste, da ne pisem.

Uradio sam ovaj prvi primer, preko KTO mi ispadne da je [inlmath]x=104[/inlmath], a na nacin koji si mi objasnila(ili objasnio ) ispadne [inlmath]x\equiv104\pmod{90}[/inlmath] a to je [inlmath]14[/inlmath] ako se ne varam- dakle greska. Otkucacu na koji sam nacin uradio, pa ako mozes da pogledas gde gresim, samo sto se uzasno snalazim sa ovim Latexom, trebace mi vremena...

Iz prve jednacine:
[dispmath]x\equiv8\pmod{12}[/dispmath]
Sledi da je:
[dispmath]x=12\cdot m+8[/dispmath]
Menjam u drugu:
[dispmath]12\cdot m+8\equiv5\pmod9[/dispmath]
Odatle je [inlmath]3\cdot m\equiv-3\pmod9[/inlmath]
[dispmath]3\cdot m=9\cdot n+6[/dispmath][dispmath]m=3\cdot n+2[/dispmath]
Sada je [inlmath]x=36\cdot n+32[/inlmath]
[dispmath]36\cdot n+32\equiv14\pmod{15}[/dispmath][dispmath]6\cdot n\equiv12\pmod{15}[/dispmath][dispmath]6\cdot n=15\cdot l+12[/dispmath][dispmath]n=\frac{5\cdot l+4}{2}[/dispmath][dispmath]x=104+90l[/dispmath][dispmath]x\equiv104\pmod{90}[/dispmath]
Odakle sam dobio da je [inlmath]x=14[/inlmath]
I da, nzs za [inlmath]12,9,15[/inlmath] je [inlmath]180[/inlmath], ovde sam po modulu [inlmath]90[/inlmath] dobio resenje

Gistro je napisao:[dispmath]6\cdot n\equiv12\pmod{15}[/dispmath][dispmath]6\cdot n=15\cdot l+12[/dispmath][dispmath]n=\frac{5\cdot l+4}{2}[/dispmath][dispmath]x=104+90l[/dispmath][dispmath]x\equiv104\pmod{90}[/dispmath]
Odakle sam dobio da je [inlmath]x=14[/inlmath]

Ova prva jednacina je dobra (kao i druga), ali ne mozes reci da je [inlmath]\displaystyle n=\frac{5\cdot l+4}{2}[/inlmath] jer [inlmath]n\in\mathbb{Z}[/inlmath], tj. [inlmath]n[/inlmath] ne moze biti razlomak (a za [inlmath]l=1[/inlmath] bismo iz ovog tvog to i dobili). Dakle, osnov predstavlja [inlmath]6\cdot n\equiv12\pmod{15}[/inlmath], sto je linearna Diofantova jednacina i sto bi trebalo da znas kako se resava. Kada nju resis, onda ces i dobiti tacan rezultat za [inlmath]x[/inlmath].

I primeti da (uzmimo primera radi da si dobio dobro resenje (a nisi)) iz [inlmath]x\equiv104\pmod{90}[/inlmath] nemas [inlmath]x=14[/inlmath], vec [inlmath]x\equiv14\pmod{90}[/inlmath] (dakle, imamo beskonacno resenja, a ne jedno (kako moze da izgleda ako se napise samo [inlmath]x=14[/inlmath])).

Takodje, da ne ostanem duzan, moram ti napomenuti da ovako postavljen problem ne mozemo odmah resiti pomocu KTO jer [inlmath]9[/inlmath], [inlmath]12[/inlmath] i [inlmath]15[/inlmath] nisu uzajamno prosti u parovima. Dakle, u iskazu KTO se trazi da je [inlmath]\text{NZD}(9,12)=1[/inlmath], [inlmath]\text{NZD}(9,15)=1[/inlmath] i [inlmath]\text{NZD}(12,15)=1[/inlmath], a to ovde nije situacija.

objasnio, ako je od nekog znacaja

Hvala najlepse, razumeo, uradio...