MATEMANIJA

Zadaci iz Teorije brojeva i ja uopste se ne slazemo.

Zadatak: Neka su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] proizvoljni neparni brojevi, pri cemu je [inlmath]m>n[/inlmath]. Koji je najveci ceo broj koji deli sve mogucne brojeve oblika [inlmath]m^2-n^2[/inlmath]?
Resenje: [inlmath]8[/inlmath].

Znaci imamo neka dva prozivoljna neparna broja:
[dispmath]m=2k+1\\
n=2l+1[/dispmath]
E sad, brojevi oblika [inlmath]m^2-n^2[/inlmath] bice:
[dispmath]m^2-n^2=(m+n)(m-n)=\\
=(2k+1+2l+1)(2k+1-2l-1)=(2k+2l+2)(2k+2l)=\\
=4(k+l+1)(k+l)[/dispmath]
Do ovog dela mi je jasno. I sad se ovde govori o parnosti brojeva [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath] i na osnovu toga zakljucuje da je broj oblika [inlmath]m^2-n^2[/inlmath] uvek deljiv sa [inlmath]8[/inlmath]...sto ja, naravno, to uopste ne kapiram.

Pošto su [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath] neki celi brojevi, koji mogu biti i parni i neparni, to će i njihov zbir, [inlmath]k+l[/inlmath], takođe biti ceo broj, koji može biti paran ili neparan.

[inlmath]k+l+1[/inlmath] će, takođe, biti ceo broj, paran ili neparan, ali uvek suprotne parnosti u odnosu na [inlmath]k+l[/inlmath] (pošto su [inlmath]k+l[/inlmath] i [inlmath]k+l+1[/inlmath] uzastopni brojevi). Dakle, kada je [inlmath]k+l[/inlmath] neparno, tada će [inlmath]k+l+1[/inlmath] biti parno. I obratno.

Prema tome, proizvod [inlmath]\left(k+l\right)\left(k+l+1\right)[/inlmath] predstavljaće proizvod parnog i neparnog broja. Ne znamo koji od njih je paran a koji neparan, ali znamo da je tačno jedan od njih paran i tačno jedan neparan. A znamo da je proizvod parnog i bilo kog broja – paran broj. Prema tome, i ovaj proizvod će biti paran broj, te ga možemo napisati kao
[dispmath]\left(k+l\right)\left(k+l+1\right)=2p[/dispmath]
gde je [inlmath]p[/inlmath] takođe neki ceo broj.

Dakle, izraz [inlmath]4\left(k+l\right)\left(k+l+1\right)[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]4\cdot2p[/inlmath], a to je [inlmath]8p[/inlmath]. Ovime je dokazana deljivost tog izaza sa [inlmath]8[/inlmath].