MATEMANIJA

Nadam se da sam ubo odgovarajuci forum.
Elem, imam neka dva zadacica, a bas nikakvu ideju (jer, teorija brojeva i ja ne govorimo odavno ). Tako da, neke pocetne naznake za resavanje su dobrodosle.

---

[inlmath]1)[/inlmath] Broj [inlmath]1993![/inlmath] se zavrsava sa [inlmath]N[/inlmath] nula, gde je [inlmath]N[/inlmath] jednako?
[inlmath]2)[/inlmath] Svih parova uzajamno prostih brojava [inlmath]x,y[/inlmath] ciji je proizvod jednak [inlmath]1331000[/inlmath] ima?

Temu sam razdvojio na dve – za [inlmath]2.[/inlmath] zadatak odgovor ovde.

Ako broj [inlmath]1993![/inlmath] rastaviš na proste činioce, među tim prostim činiocima će biti, svakako, i dvojke i petice. E sad, ako te dvojke i petice grupišeš u parove, tako da se u svakom paru nalazi jedna dvojka i jedna petica, broj takvih parova biće jednak broju nula kojima se završava broj [inlmath]1993![/inlmath]. (Da li uočavaš zbog čega?)

Pri tome, svakako će među prostim činiocima broja [inlmath]1993![/inlmath] biti više dvojaka nego petica (jer je [inlmath]1993![/inlmath] jednak proizvodu prirodnih brojeva od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]1993[/inlmath], pri čemu je svaki drugi broj deljiv sa [inlmath]2[/inlmath] tj. sadrži u sebi činilac [inlmath]2[/inlmath], dok je tek svaki peti deljiv sa [inlmath]5[/inlmath] tj. sadrži u sebi činilac [inlmath]5[/inlmath]). Prema tome, mnoge dvojke će ostati nesparene s peticama. To znači da nam je od interesa samo broj petica među prostim činiocima broja [inlmath]1993![/inlmath].

Prilikom određivanja koliko petica ima među prostim činiocima broja [inlmath]1993![/inlmath], vodi računa o tome da celobrojni umnošci petice imaju u sebi bar jedan činilac [inlmath]5[/inlmath], celobrojni umnošci broja [inlmath]25[/inlmath] imaju u sebi bar dva činioca [inlmath]5[/inlmath], celobrojni umnošci broja [inlmath]125[/inlmath] imaju u sebi bar tri činioca [inlmath]5[/inlmath] itd... Ako sve dobro sračunaš, treba da dobiješ da se broj [inlmath]1993![/inlmath] završava sa [inlmath]495[/inlmath] nula.

Od ova tri pasusa jedino kapiram drugi...

Pa, dobro, [inlmath]33,33\%[/inlmath] ukapiranog, zasad. Da ti ne bih sad pokazivao kako bi [inlmath]1993![/inlmath] rastavio na faktore (oduzelo bi poprilično prostora, jel' ), pokazaću ti to isto za broj [inlmath]12![/inlmath], a princip je isti za faktorijel bilo kog broja...
[dispmath]\begin{align}
12!&=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\\
&=1\cdot2\cdot3\cdot\underbrace{2\cdot2}_4\cdot5\cdot\underbrace{2\cdot3}_6\cdot7\cdot\underbrace{2\cdot2\cdot2}_8\cdot\underbrace{3\cdot3}_9\cdot\underbrace{2\cdot5}_{10}\cdot11\cdot\underbrace{2\cdot2\cdot3}_{12}\\
&=1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot11
\end{align}[/dispmath]
Na ovom primeru možemo videti upravo ono o čemu sam u prošlom postu govorio – da će među prostim činiocima biti mnogo više dvojaka nego petica. Samim tim, ako bismo pravili parove od po jedne dvojke i jedne petice, broj takvih parova koje bismo mogli napraviti bio bi jednak broju petica. Konkretno, u slučaju za [inlmath]12![/inlmath]:
[dispmath]12!=1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cdot11\cdot\left(2\cdot5\right)\cdot\left(2\cdot5\right)[/dispmath]
Parovi dvojaka i petica predstavljaju, zapravo, desetke kao činioce posmatranog broja. A koliko neki broj sadrži desetki, toliko će taj broj imati nula kojima će se završavati, logično? Prema tome, uočavamo, pošto smo konstatovali da [inlmath]12![/inlmath] sadrži dva para dvojaka i petica, znači da sadrži dve desetke, a to, opet, znači da će se [inlmath]12![/inlmath] završavati dvema nulama. Proverimo na kalkulatoru i, zaista, [inlmath]12!=479.001.6{\color{green}00}[/inlmath].

Ako ti nešto odavde nije jasno, naravno, pitaj. A ako ti je jasno, bi li pokušao sad to da primeniš na [inlmath]1993![/inlmath]?

Jedino sto sam ja uocio je to da cemo na svakih [inlmath]50[/inlmath] uzastopnih cinilaca imati po dvanaest parova dvojaka i petica. Ali, na osnovu toga ne dobijam tacan rezultat.

pa formiraj aritmetički niz gdje [inlmath]a_1=5\quad a_n=1990\quad d=5[/inlmath] i iz toga nađeš [inlmath]n[/inlmath], to isto ponoviš za [inlmath]25,\,125,\,625[/inlmath] da bi dobio što je daniel rekao da broj [inlmath]25[/inlmath] ima dva umnoška broja [inlmath]5[/inlmath], prvu peticu si prebrojao kad si tražio broj djeljivih sa [inlmath]5[/inlmath] drugu ćeš prebrojati kad to uradiš za [inlmath]25[/inlmath]
odnosno [inlmath]1993[/inlmath] podijeliš sa [inlmath]5,\,25,\,125,\,625[/inlmath], zaokružiš na manji cijeli i nađeš njihovu sumu

bar bih ja to tako uradio, nećeš valjda ići po redu i brojati sve petice, za dvojke odmah vidiš da ih ima više pa ih i ne brojiš uopšte

Jeste da tema nije aktuelna, ali mislim da nije na odmet dodati još jedno rešenje, možda malo jednostavnije i uopštenije.
Naime, postoji formula po kojoj se računa najveći stepen prostog broja [inlmath]p[/inlmath] koji deli [inlmath]n![/inlmath] (Ležandrova formula):
[dispmath]\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor+\cdots[/dispmath] gde je [inlmath]\left\lfloor\ \right\rfloor[/inlmath] funkcija 'ceo deo'.
Ovde se ovo može primeniti na sledeći način:
Broj [inlmath]1993![/inlmath] ima [inlmath]k[/inlmath] nula ako [inlmath]10^k\vert\vert1993![/inlmath] ( [inlmath]\vert\vert[/inlmath] je 'tačno deli')
Naravno, [inlmath]10^k=2^k\cdot5^k[/inlmath], a kao što je već napomenuto bitan je samo broj petica, koji je jednak:
[dispmath]\left\lfloor\frac{1993}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1993}{5^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1993}{5^3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1993}{5^4}\right\rfloor=495[/dispmath] Pa je i broj nula kojim se završava broj [inlmath]1993![/inlmath] jednak [inlmath]495[/inlmath].
Ova metoda se često primenjuje u pripremnom materijalu za takmičenja.

Corba248 je napisao:[dispmath]\left\lfloor\frac{1993}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1993}{5^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1993}{5^3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1993}{5^4}\right\rfloor=495[/dispmath]

Zašto formula staje kod [inlmath]5^4[/inlmath], i odakle znamo do kog stepena ona ide?

Pa čemu bi bili jednaki [inlmath]\displaystyle\left\lfloor\frac{1993}{5^5}\right\rfloor[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\left\lfloor\frac{1993}{5^6}\right\rfloor[/inlmath] itd.?

A da u pravu si, hvala ti