MATEMANIJA

Imam sledeci zadatak:
[inlmath]a_n=6^{2n}+3^{n+2}+3^n[/inlmath] da je deljivo sa [inlmath]11[/inlmath]

Da ne pisem bez veze za [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]n=k[/inlmath], da odmah predjem na [inlmath]n=k+1[/inlmath]

[inlmath]n=k+1[/inlmath]

[inlmath]a_{k+1}=6^{2(k+1)}+3^{(k+1)+2}+3^{k+1}[/inlmath]
[inlmath]a_{k+1}=6^{2k+2}+3^{k+3}+3^{k+1}[/inlmath]
[inlmath]a_{k+1}=6^{2k}\cdot6^2+3\cdot3^{k+2}+3\cdot3^k[/inlmath]
[inlmath]a_{k+1}=36+6^{2k}+36\cdot3^{k+2}+36\cdot3^k-36\cdot3^{k+2}-36\cdot{3^k}+3\cdot3^{k+2}+3\cdot3^k[/inlmath]
[inlmath]a_{k+1}=36\cdot a_k-33\cdot3^{k+2}-33\cdot3^k[/inlmath]
[inlmath]a_{k+1}=6\cdot a_k-33\left(3^{k+2}+3^k\right)[/inlmath]

Nejasan mi je deo obelezen crvenom bojom, zasto se u svakom koraku dodaje [inlmath]36[/inlmath] tj. [inlmath]6^2[/inlmath] tj. prvo se dodaje, a zatim se isto to oduzima, gledao sam u to bukvalno par sati, ali ne vidim neku povezanost izmedju tog reda i prethodnog, pa bih zamolio ako neko moze da mi razjasni, ili predlozi neki jednostavniji metod resavanja. Hvala

Pozdrav, uz dobrodošlicu na forum.

U tom crveno obeleženom delu imaš grešku – desno od znaka jednakosti stoji [inlmath]36+6^{2k}+\cdots[/inlmath], a treba [inlmath]36\cdot6^{2k}+\cdots[/inlmath]. OK, možda je samo greška u kucanju.
Takođe, umesto zvezdice ([inlmath]*[/inlmath]) za množenje bi trebalo koristiti Latex-komandu \cdot, što daje [inlmath]\cdot[/inlmath] (puta), korigovaću to kasnije. U svakom slučaju, prilično se dobro snalaziš s Latexom budući da ti je ovo tek prvi post.

E sad, što se tiče tvog pitanja. Pošto smo kao prvi sabirak imali, dakle, [inlmath]36\cdot6^{2k}[/inlmath], ideja je bila da dobijemo [inlmath]36a_k[/inlmath] plus nešto, a zatim da pokažemo da je to nešto deljivo s [inlmath]11[/inlmath]. Pošto je i [inlmath]36a_k[/inlmath] deljivo s [inlmath]11[/inlmath], to znači da će i njihov zbir (koji je, zapravo, [inlmath]a_{k+1}[/inlmath]) takođe biti deljiv s [inlmath]11[/inlmath], čime je indukcijska pretpostavka dokazana.
E, da bismo dobili [inlmath]36a_k[/inlmath] plus nešto, potrebno je da dobijemo [inlmath]36a_k=36\cdot6^{2k}+36\cdot3^{k+2}+36\cdot3^k[/inlmath], a da bismo to dobili, pošto već imamo sabirak [inlmath]36\cdot6^{2k}[/inlmath], potrebno je da dodamo i da oduzmemo još i [inlmath]36\cdot3^{k+2}[/inlmath] i [inlmath]36\cdot3^k[/inlmath].

Može i na drugi način, ako ti je tako jednostavnije (mada je ideja u principu ista). Kad smo dobili
[dispmath]a_{k+1}=6^{2k}\cdot6^2+3\cdot3^{k+2}+3\cdot3^k[/dispmath]
mogli smo sve to da svedemo na [inlmath]3a_k[/inlmath] plus nešto (jer vidimo da nam je to zgodno, zbog toga što trojku imamo i u drugom i u trećem sabirku), tako što dodamo i oduzmemo [inlmath]3\cdot6^{2k}[/inlmath]:
[dispmath]a_{k+1}=6^{2k}\cdot6^2+\underbrace{3\cdot6^{2k}+3\cdot3^{k+2}+3\cdot3^k}_{\displaystyle3a_k}-3\cdot6^{2k}[/dispmath][dispmath]a_{k+1}=3a_k+6^{2k}\cdot6^2-3\cdot6^{2k}[/dispmath][dispmath]a_{k+1}=3a_k+\left(6^2-3\right)6^{2k}[/dispmath][dispmath]a_{k+1}=3a_k+33\cdot6^{2k}[/dispmath][dispmath]a_{k+1}=3a_k+11\cdot3\cdot6^{2k}[/dispmath]
Pošto su oba sabirka na desnoj strani deljiva s [inlmath]11[/inlmath], zaključujemo da je s [inlmath]11[/inlmath] deljiva i cela desna strana, a samim tim i leva strana, tj. [inlmath]a_{k+1}[/inlmath] je deljivo s [inlmath]11[/inlmath], što je i trebalo dokazati.