MATEMANIJA

Pozdrav, ako može pomoć oko zadatka.
Dokazati da je [inlmath]n^n-n[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svaki neparan prirodan broj.
Svaki neparan prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] možemo prikazati u obliku [inlmath]2k+1[/inlmath] gdje je [inlmath]k=0,1,2\ldots[/inlmath] pa imamo:
[dispmath]n^n-n=n\left(n^{(n-1)}-1\right)=(2k+1)\left((2k+1)^{2k}-1\right)=(2k+1)\left((2k+1)^k-1\right)\left((2k+1)^k+1\right)=[/dispmath]
Budući da je broj [inlmath](2k+1)^k[/inlmath] neparan za svaki [inlmath]k[/inlmath], imamo da su brojevi [inlmath](2k+1)^k-1[/inlmath] i [inlmath](2k+1)^k+1[/inlmath] dva uzastopna parna broja što znači da je jedan djeljiv sa [inlmath]2[/inlmath] a drugi sa [inlmath]4[/inlmath] pa je početni izraz djeljiv sa [inlmath]8[/inlmath]. Dalje, mislio sam pokazati da je početni izraz djeljiv sa [inlmath]3[/inlmath] pa kako je [inlmath]\text{NZD}(8,3)=1[/inlmath] slijedi da je djeljiv i sa [inlmath]24[/inlmath].

Dovde je dobro. Radi dokazivanja deljivosti sa [inlmath]3[/inlmath], rastavi faktore [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] prema formulama [inlmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k[/inlmath] i [inlmath]a^n+b^n=\left(a+b\right)\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^ka^{n-k-1}b^k[/inlmath] (ova druga važi samo za neparno [inlmath]n[/inlmath], kao što u ovom zadatku i jeste slučaj) – obe formule imaš u ovoj temi.

Nakon toga će ti figurisati faktori [inlmath]2k[/inlmath], [inlmath]2k+1[/inlmath] i [inlmath]2k+2[/inlmath], koji predstavljaju tri uzastopna prirodna broja, što znači da je jedan od njih sigurno deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. A samim tim je i čitav proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].

Pokušavao sam na taj nacin ali izraz [inlmath](2k+1)^k+1[/inlmath] se ne može rastaviti kao zbir [inlmath]k[/inlmath]-tih stepena jer [inlmath]k[/inlmath] može biti i parno. Več smo na početku uveli smjenu da je neparno [inlmath]n[/inlmath] iz uslova zadatka oblika [inlmath]n=2k+1[/inlmath] gdje je [inlmath]k=0,1,2\ldots[/inlmath]

U pravu si, izvinjavam se, ja sve vreme ovo [inlmath]k[/inlmath] u eksponentu posmatrao kao da je [inlmath]n[/inlmath].
Što bi rekô moj profa s faksa – „Nemojte ovo nikom da pričate.“
Razmisliću o odgovoru.

Možemo razmatrati dva slučaja:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]2k+1[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Tada je izraz [inlmath]\left(2k+1\right)\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], jer sadrži faktor [inlmath](2k+1)[/inlmath] koji je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]2k+1[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Tada ni [inlmath]\left(2k+1\right)^k[/inlmath] ne može biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Pošto su [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)[/inlmath], [inlmath]\left(2k+1\right)^k[/inlmath] i [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath], uzastopni prirodni brojevi, znači da jedan od njih mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Pošto ovaj drugi, [inlmath]\left(2k+1\right)^k[/inlmath], po uslovu ovog slučaja nije deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], sledi da ili [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
Tada je izraz [inlmath]\left(2k+1\right)\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].


Prema tome, ovime je pokazano da je u oba slučaja (i kada je [inlmath]2k+1[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] i kada [inlmath]2k+1[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]) ceo izraz [inlmath]\left(2k+1\right)\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].