MATEMANIJA

Treba mi pomoć oko sledećeg zadatka:
Da li postoji prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] takav da [inlmath]299[/inlmath] deli [inlmath]2^n+1[/inlmath]?
Mislim da ne postoji, al ne znam da dokažem. Probala sam da iskoristim činjenicu da je [inlmath]a^n+b^n[/inlmath] deljivo sa [inlmath]a+b[/inlmath] za svaka dva prirodna broja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] i neparno [inlmath]n[/inlmath]? I to da je [inlmath]299[/inlmath] proizvod dva prosta broja [inlmath]23[/inlmath] i [inlmath]13[/inlmath], ali sve se samo vrtim u krug bez nekog rezultata.

Evo početak ponovnog odgovora (obrisao sam svoja dva prethodna posta da ne bih zbunjivao korisnike, pošto se ovde traži analitički, a ne softverski dokaz.) Koji zapravo i nije dokaz.
Moje potpitanje glasi:
Koji je ovo nivo, srednja škola, prijemni, fakultet ili poslediplomske studije?
Da li smem da koristim modularnu aritmetiku, kongruenciju po modulu itd. tj. koje su tehnike dozvoljene?
Ovo je jako bitno.
Najteže bi bilo ako je srednja škola ili prijemni, deluje mi jako teško nameštanje bez pomenutih tehnika.
Molio bih i da se navede izvor.
Pozdrav.

U pitanju je fakultet. Primer jednog ispitnog zadatka iz algebre 2. Rekla bih da je kongruencija po modulu, deljivost brojeva.

Ne postoji takvo [inlmath]n[/inlmath].

Naravno, jasno je da je tvoje tvrdjenje ekvivaletno sa tim da odredimo da li postoji [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] takvo da je [inlmath]2^n\equiv-1\pmod{299}[/inlmath]. Ako bismo pretpostavili da postoji [inlmath]m\in\mathbb{N}[/inlmath] takvo da je [inlmath]2^m\equiv-1\pmod {299}[/inlmath], to bismo imali i [inlmath]2^m\equiv-1\pmod{23}[/inlmath], no ovo poslednje nije moguce. Naime, za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] sistem ostataka od [inlmath]2^n[/inlmath] po modulu [inlmath]23[/inlmath] je jednak [inlmath]\{2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1\}[/inlmath] (pisem redom, tj. u odnosu na [inlmath]n=1[/inlmath], pa [inlmath]n=2[/inlmath], itd. (posle [inlmath]n=11[/inlmath] kada je [inlmath]2^n\equiv1\pmod{23}[/inlmath] se ponavljaju ostaci)). Kako [inlmath]-1[/inlmath] (odnosno [inlmath]22=23-1[/inlmath]) ne pripada ovom prethodnom skupu, to ne postoji [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] takvo da je [inlmath]2^n\equiv-1\pmod{23}[/inlmath].

Inace, da, tvoje razmatranje da ako [inlmath]n[/inlmath] postoji to onda [inlmath]n[/inlmath] mora biti parno je dobro. Takodje, iskoristili smo i rastavljanje [inlmath]299=13\cdot23[/inlmath] koje si spomenula (napomenimo da nismo gledali sve [inlmath]\bmod13[/inlmath], jer je [inlmath]2^6\equiv-1\pmod{13}[/inlmath], pa nam to ne pomaze mnogo).