MATEMANIJA

Pozdrav, evo jednog zadatka:
Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] prirodni brojevi , takvi da [inlmath]a\cdot b+1[/inlmath] deli [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]. Dokazati da je kolicnik [inlmath]\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a\cdot b+1}[/inlmath] uvek kvadrat prirodnog broja. Ja sam ovo pokusao da resim ubacivanjem brojeva i uocavanjem pravilnosti , medjutim nije islo bas najbolje , dok u zvanicnom resenju su koristili nesto sa cime ja nisam upoznat , pa me zanima neki ,,normalniji,, nacin. Hvala unapred

Ostatak pri deljenju [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] sa [inlmath]ab+1[/inlmath] je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath]. U ovom slucaju, taj ostatak mora da bude jednak nuli, sto je moguce samo ako je [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath] jednako nuli, pa ce brojilac kolicnika koji si spomenuo da se svede na [inlmath]a^2[/inlmath] ili [inlmath]b^2[/inlmath], a imenilac na [inlmath]1[/inlmath].

Svaka cast, nikad mi ovo ne bi palo napamet, iako je naizgled trivijalno. Ovo je zadatak sa IMO-a inace , i to takav zadatak da ga je resilo dvoje ljudi od svih mogucih ucesnika, a zvanicno resenje je koristilo uvodjenje neke pomocne funkcije koje su posmatrali u tri dimenzije i tako dalje ...nemam blage veze sta ce im to, kada se naslucuje da moze i ,,aritmeticki,, da se resi.Jos jednom svaka cast i hvala

Da ne znas mozda koje godine i na kom tipu takmicenja (opstinsko, republicko...) je bio ovaj zadatak? Sve te imo-ove zadatke mozes ovde da nadjes http://srb.imomath.com/index.php?options=29&lmm=1

Znam za taj sajt, na njemu se i ja spremam za takmicenja , no mislim da ga tu nema.Ovo je bas zadatak sa internacionalne matematicke olimpijade koja se odrzala 1988. godine u Australiji.Ako te zanima i ako znas engleski , pogledaj https://www.youtube.com/watch?v=Y30VF3cSIYQ.

Ja sam ga nasao u svesci pripremnog materijala koji sam pozajmio od kolege, a u nastavku snimka koji sam ti okacio , https://www.youtube.com/watch?v=L0Vj_7Y2-xY su koristili neko slicno resenje kao i zvanicno, koje meni ni najmanje nije jasno.

pentagram142857 je napisao:Ostatak pri deljenju [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] sa [inlmath]ab+1[/inlmath] je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath].

Na osnovu cega ovo tvrdis? Zapravo, tacno je da [inlmath]-ab(a^2+b^2)[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]ab+1[/inlmath], no ne mora i samo biti jednako nuli. [a s obzirom na samu postavku, ovo poslednje nam ne donosi nista novo]

Stavise, primer [inlmath]a=b=1[/inlmath] pokazuje da tvoje prethodno rezonovanje ne moze biti dobro.

Zadatak kaze da navedeni kolicnik mora da bude ceo broj, otuda uslov da ostatak mora biti jednak nuli,no zanimljivo je da je [inlmath]a=b=1[/inlmath] jedini jedinstven slucaj, a zbog cega , ne znam.

Ostatak mora biti jednak nuli, međutim, ukoliko je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]ab+1[/inlmath], onda [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath] nije ostatak.

Gekko je napisao:

Molio bih, bez požurivanja (tačka 16. Pravilnika).