MATEMANIJA

Pozdrav, evo jednog zadatka:
Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] prirodni brojevi , takvi da [inlmath]a\cdot b+1[/inlmath] deli [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]. Dokazati da je kolicnik [inlmath]\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a\cdot b+1}[/inlmath] uvek kvadrat prirodnog broja. Ja sam ovo pokusao da resim ubacivanjem brojeva i uocavanjem pravilnosti , medjutim nije islo bas najbolje , dok u zvanicnom resenju su koristili nesto sa cime ja nisam upoznat , pa me zanima neki ,,normalniji,, nacin. Hvala unapred

Ostatak pri deljenju [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] sa [inlmath]ab+1[/inlmath] je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath]. U ovom slucaju, taj ostatak mora da bude jednak nuli, sto je moguce samo ako je [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath] jednako nuli, pa ce brojilac kolicnika koji si spomenuo da se svede na [inlmath]a^2[/inlmath] ili [inlmath]b^2[/inlmath], a imenilac na [inlmath]1[/inlmath].

Svaka cast, nikad mi ovo ne bi palo napamet, iako je naizgled trivijalno. Ovo je zadatak sa IMO-a inace , i to takav zadatak da ga je resilo dvoje ljudi od svih mogucih ucesnika, a zvanicno resenje je koristilo uvodjenje neke pomocne funkcije koje su posmatrali u tri dimenzije i tako dalje ...nemam blage veze sta ce im to, kada se naslucuje da moze i ,,aritmeticki,, da se resi.Jos jednom svaka cast i hvala

Da ne znas mozda koje godine i na kom tipu takmicenja (opstinsko, republicko...) je bio ovaj zadatak? Sve te imo-ove zadatke mozes ovde da nadjes http://srb.imomath.com/index.php?options=29&lmm=1

Znam za taj sajt, na njemu se i ja spremam za takmicenja , no mislim da ga tu nema.Ovo je bas zadatak sa internacionalne matematicke olimpijade koja se odrzala 1988. godine u Australiji.Ako te zanima i ako znas engleski , pogledaj https://www.youtube.com/watch?v=Y30VF3cSIYQ.

Ja sam ga nasao u svesci pripremnog materijala koji sam pozajmio od kolege, a u nastavku snimka koji sam ti okacio , https://www.youtube.com/watch?v=L0Vj_7Y2-xY su koristili neko slicno resenje kao i zvanicno, koje meni ni najmanje nije jasno.

pentagram142857 je napisao:Ostatak pri deljenju [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] sa [inlmath]ab+1[/inlmath] je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath].

Na osnovu cega ovo tvrdis? Zapravo, tacno je da [inlmath]-ab(a^2+b^2)[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]ab+1[/inlmath], no ne mora i samo biti jednako nuli. [a s obzirom na samu postavku, ovo poslednje nam ne donosi nista novo]

Stavise, primer [inlmath]a=b=1[/inlmath] pokazuje da tvoje prethodno rezonovanje ne moze biti dobro.

Zadatak kaze da navedeni kolicnik mora da bude ceo broj, otuda uslov da ostatak mora biti jednak nuli,no zanimljivo je da je [inlmath]a=b=1[/inlmath] jedini jedinstven slucaj, a zbog cega , ne znam.

Ostatak mora biti jednak nuli, međutim, ukoliko je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]ab+1[/inlmath], onda [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath] nije ostatak.

Gekko je napisao:

Molio bih, bez požurivanja (tačka 16. Pravilnika).

Nije mi bila namera pozurivanje,vec informacija o tome da li da cekam resenje ili ne.
Jedna stvar mi nije jasna , zasto uopste posmatrate kada je i da li je [inlmath]-ab\cdot\left(a^2+b^2\right)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]a\cdot b+1[/inlmath] ? Zasto posmatrati kada je ostatak deljiv sa deliocem? Oo

Zato sto to nije ostatak. A i ne znam bas kako to uspevate da podelite polinom sa dve promenljive polinomom sa dve promenljive. Ja nikada nisam ucio takvo deljenje (bar se ne secam, mozda sam nesto predvideo).

I ima jos resenja pored [inlmath]a=b=1[/inlmath], npr. [inlmath]a=2, b=8[/inlmath]. [naravno, ona resenja [inlmath]a=0[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] bilo sta, i obratno, podrazumevam] Stavise, ne bi me cudilo da postoji beskonacno mnogo takvih kombinacija.

Inače, [inlmath](a,b)=(1,1)[/inlmath] uopšte nije jedinstven slučaj (tj. jedinstven je jedino po tome što je [inlmath]a=b[/inlmath], što za ostale slučajeve ne važi).
Ja upravo dobih softverski:

Kôd: Obeleži sve

(a,b)=(1,1)
(a,b)=(2,8)
(a,b)=(3,27)
(a,b)=(4,64)
(a,b)=(5,125)
(a,b)=(6,216)
(a,b)=(7,343)
(a,b)=(8,30)
(a,b)=(8,512)
(a,b)=(9,729)
(a,b)=(10,1000)
(a,b)=(27,240)
(a,b)=(30,112)
(a,b)=(112,418)
.
.
.

EDIT: Sorry, Onomatopeja, tek sad videh da si to već napisao...

Neki predlog kako da se uradi ovo bez crtanja grafika u tri dimenzije?

@Daniel: Ma ok je, ti imas dosta potpuniju listu primera. Inace to da je [inlmath]a=b[/inlmath] jedino moguce za [inlmath]a=b=1[/inlmath] (slucaj [inlmath]a=b=0[/inlmath] nekako ne bih tu uvrstavao, upitno je pitanje sta ko smatra pod prirodnim brojevima), se moze lako videti iz toga sto se u tom slucaju nas razlomak svodi na [inlmath]\frac{2a^2}{a^2+1}[/inlmath], sto je strogo manje od dva.

Gekko je napisao:Neki predlog kako da se uradi ovo bez crtanja grafika u tri dimenzije?

Mislim da se stavljanjem u gugl „official solution imo 1988“ dobija sasvim dovoljno rezultata.

pentagram142857 je napisao:Da ne znas mozda koje godine i na kom tipu takmicenja (opstinsko, republicko...) je bio ovaj zadatak? Sve te imo-ove zadatke mozes ovde da nadjes http://srb.imomath.com/index.php?options=29&lmm=1

Gekko je napisao:Znam za taj sajt, na njemu se i ja spremam za takmicenja , no mislim da ga tu nema.Ovo je bas zadatak sa internacionalne matematicke olimpijade koja se odrzala 1988. godine u Australiji.Ako te zanima i ako znas engleski , pogledaj https://www.youtube.com/watch?v=Y30VF3cSIYQ.

Može se naći na zvaničnom sajtu IMO-a (dan 2, zadatak 6.)

Pogresio sam, nije ostatak to sto sam rekao. Ovako sam dosao do pogresnog ostatka:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(a^2+b^2\right):(ab+1)=a^2+b^2\\
\underline{-a^3b-a^2}\\
\hspace{6ex}b^2-a^3b\\
\hspace{6ex}\underline{-ab^3-b^2}\\
\hspace{9ex}-a^3b-ab^3=-ab(a^2+b^2)
\end{array}[/dispmath]
Imam naviku da cak i kad ne znam da uradim zadatak, probam bilo sta, pa makar bilo i lupanje, jer onda postoji sansa da se na testovima prizna bar deo zadatka (mada u ovom slucaju, cak ni to).