MATEMANIJA

Odrediti poslednje dve cifre broja [inlmath]2^{100}[/inlmath].
Ovo se radi preko kongruencija, razume se, ali ima nesto sto me kopka.
Znam za onu foru da treba naci broj sa kojim je [inlmath]2^{100}[/inlmath] kongruentan po modulu [inlmath]100[/inlmath], zbog toga sto trazimo poslednje dve cifre.
Tu se sada namece Ojlerova teorema, koja, medjutim ima uslov, koji kaze da ako je [inlmath](a,m)=1[/inlmath], onda vazi kongruencija, sto ovde nije slucaj.
Nekakvim matematickim madjijama sam uspeo da odredim da je poslednja cifra [inlmath]6[/inlmath], medjutim za originalni zadatak nemam ideju
Hvala unapred

Lako se vidi da je [inlmath]100=5^22^2[/inlmath]
[dispmath]2^{10}\equiv-1\pmod{25}\quad\Longrightarrow\quad2^{100}\equiv1\pmod{25}[/dispmath] Što će reći da su mogući kandidati: [inlmath]26,51,76,01[/inlmath]
[dispmath]2^2\equiv0\pmod4\quad\Longrightarrow\quad2^{100}\equiv0\pmod4[/dispmath] Pa naš sistem kongruencija glasi:
[dispmath]x\equiv1\pmod{25}[/dispmath][dispmath]x\equiv0\pmod4[/dispmath] Rješenje je [inlmath]76[/inlmath], jer zadovoljava obje kongruencije po kineskoj teoremi o ostacima

A može i na malo „seljačkiji“ način, bez korišćenja kongruencija i nabrojanih teorema, uz čistu intuiciju.
Pišemo poslednje cifre svih stepena dvojke počevši od [inlmath]2^1[/inlmath], dok ne uočimo periodičnost:
[dispmath]\begin{matrix}
2^1=2 & 2^7=\ldots28 & 2^{13}=\ldots92 & 2^{19}=\ldots88\\
2^2=4 & 2^8=\ldots56 & 2^{14}=\ldots84 & 2^{20}=\ldots76\\
2^3=8 & 2^9=\ldots12 & 2^{15}=\ldots68 & 2^{21}=\ldots52\\
2^4=16 & 2^{10}=\ldots24 & 2^{16}=\ldots36 & 2^{22}=\ldots04\\
2^5=32 & 2^{11}=\ldots48 & 2^{17}=\ldots72 & 2^{23}=\ldots08\\
2^6=64 & 2^{12}=\ldots96 & 2^{18}=\ldots44 & 2^{24}=\ldots16
\end{matrix}[/dispmath] i uočava se da će se nadalje poslednje dve cifre periodično ponavljati pri svakom uvećanju eksponenta za [inlmath]20[/inlmath].
To znači da će poslednje dve cifre broja [inlmath]2^{100}[/inlmath] biti iste kao i poslednje dve cifre broja [inlmath]2^{20}[/inlmath], a njih smo već našli, one su [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath].