MATEMANIJA

Ako nije problem da mi pomognete oko ovog problema. Naime, treba dokazati da je broj [inlmath](n+1)(n+2)\cdots(n+n)[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]2^n[/inlmath], a nije djeljiv sa [inlmath]2^{n+1}[/inlmath]. Rjesenje u knjizi nikako nisam mogao shvatiti. Pokusavao sam da ovaj izraz zapisem kao [inlmath]2n(2n-1)(2n-2)\cdots(n+1)[/inlmath] pa da onda izuzimam dvice ispred zagrada pa bih onda dobio [inlmath]2^{n/2}n(2n-1)(n-1)\cdots(n+1)[/inlmath] pa bih onda malo filozofirao te postavljao uslove za ako je [inlmath]n[/inlmath] paran broj onda bi prva dva clana bila djeljiva sa [inlmath]4[/inlmath] itd. medutim nisam tako uspio. Ako ko ima ideju

Ovo lako možemo riješiti indukcijom po [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], većina zadataka se može dokazati preko indukcije.

Baza: Neka je [inlmath]n=1[/inlmath], tada [inlmath](1+1)=2[/inlmath], je djeljivo sa [inlmath]2^1[/inlmath], ali nije sa [inlmath]4=2^{1+1}[/inlmath].

Korak: Pretpostavimo da za neko [inlmath]n\ge1[/inlmath] broj [inlmath](n+1)\cdots(n+n)[/inlmath] jeste djeljiv sa [inlmath]2^n[/inlmath], a nije djeljiv sa [inlmath]2^{n+1}[/inlmath].

Trebamo dokazati da je broj [inlmath](n+1+1)\cdot(n+1+2)\cdots(n+1+n+1)[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]2^{n+1}[/inlmath], a nije djeljiv sa [inlmath]2^{n+2}[/inlmath]!
[dispmath](n+2)\cdot(n+3)\cdots(2n+1)\cdot(2n+2)=\\
2\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)\cdots(2n+1)=\\
2(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)\cdots(n+n)\cdot(2n+1)[/dispmath] Gdje je [inlmath](n+1)\cdots(n+n)[/inlmath] po IP djeljivo sa [inlmath]2^n[/inlmath], pa možemo napisati [inlmath](n+1)\cdot(n+2)\cdots(n+n)=2^n\cdot k[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath] je neparan, dalje imamo
[dispmath](n+1+1)\cdots(n+1+n+1)=2\cdot2^n\cdot k\cdot(2n+1)=2^{n+1}\cdot k\cdot(2n+1)[/dispmath] To znači da [inlmath]2^{n+1}[/inlmath] dijeli [inlmath](n+1+1)\cdots(n+1+n+1)[/inlmath]
Kako je [inlmath]k(2n+1)[/inlmath] neparan to [inlmath](n+1+1)\cdots(n+1+n+1)[/inlmath] nije djeljiv sa [inlmath]2^{n+2}[/inlmath]

A moze se primetiti da je [inlmath](n+1)(n+2)\cdots(n+n)=\displaystyle\frac{(2n)!}{n!}=2^n\cdot1\cdot3\cdots(2n-1)[/inlmath], gde smo iskoristili da je [inlmath](2n)!=2^nn!\cdot1\cdot3\cdots(2n-1)[/inlmath] (kod parnih se samo izvuce dvojka). Odatle samo tvrdjenje lako sledi.

Nije mi jasno kako je Onomatopeja zakljucio da je [inlmath]\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots2n[/inlmath]. Izracuno sam permutaciju od [inlmath]2n[/inlmath] te sam dobio kao i onomatopeja, ali ne razumijem zasto si na kraju podjelio sa permutacijom od [inlmath]n[/inlmath]

Nema ovo veze s permutacijama, već s faktorijelom – iako se faktorijel koristi za računanje broja permutacija.
Ako [inlmath](n+1)(n+2)\cdots2n[/inlmath] pomnožiš sa [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]1[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\frac{1\cdot2\cdots n}{1\cdot2\cdots n}[/inlmath], dobićeš
[dispmath](n+1)(n+2)\cdots2n=(n+1)(n+2)\cdots2n\cdot\frac{1\cdot2\cdots n}{1\cdot2\cdots n}=\frac{1\cdot2\cdots n(n+1)(n+2)\cdots2n}{1\cdot2\cdots n}[/dispmath] i zatim prepoznaš da je izraz u brojiocu jednak [inlmath](2n)![/inlmath], a izraz u imeniocu jednak [inlmath]n![/inlmath].

Korigovao sam ti pravopis (i u ovom tvom poslednjem, i u ranijim postovima) – molim te da obratiš pažnju na to da se nakon tačke (zareza), a pre naredne rečenice (reči) uvek stavlja razmak, tj. belina.

Hvala Vam beskonacno mnogo, shvatio sam. Izvinjavam se za pravopis, nisam znao da se treba odvajati i poslije zareza.