MATEMANIJA

8. razred sam, inace, za koji dan imam okruzni nivo takmicenja, i sto se tice algebre, imam neke jako teske zadatke.
Primer:
[inlmath]\displaystyle\frac{n^2}{2}-\frac{2n}{3}+\frac{n^3}{6}[/inlmath] - Treba dokazati da je ceo broj.
Jasno mi je prosirujemo na [inlmath]6[/inlmath], sve stavljamo u jedno, (uradite to, brzo je, i skapiracete dalji deo teksta) i onda sto ostane [inlmath]-4n[/inlmath] Prvi zbunjujuc korak mi pretvaramo u [inlmath]-6n+2n[/inlmath] da bi izvukli to [inlmath]\displaystyle-\frac{6n}{6}[/inlmath] da bude [inlmath]-n[/inlmath] na kraju.
Drugi korak, ostaje nam [inlmath]n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)[/inlmath] i to mi je jasno. I onda drugi zbunjujuc korak treba se setiti da je [inlmath]n\left(n^2+3n+2\right)=n(n+1)(n+2)[/inlmath], mislim kako bi se toga neko tek tako mogao setiti realno bih pokusavao sve moguce ali ta dva koraka nikad ne bih ubo, naravno mi je to sve matematicki jasno ali 'de da se setim toga? Jel ima neki laksi nacin ili sta vec, kako se setiti bas toga?
Inace, ako vam je konfuzno da pratite sta pricam, evo zadatak i resenje 1. zadatak : https://zadaci.files.wordpress.com/2014/04/8.pdf
Hvala unapred

Pozdrav.
Prvo, trebalo bi da koristiš Latex radi bolje preglednosti posta. Zaista, da nisi postavio ovaj link ja ne bih pola razumeo šta pitaš. Ubuduće koristi Latex.
Drugo, ovo nije pitanje iz algebre, već iz teorije brojeva (mada liči na algebru).
Dobro, za ovakve zadatke potrebno je i dosta iskustva. Nakon što svedeš sva tri razlomka na isti imenilac, potrebno je dokazati da je brojilac deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Da bi neki broj bio deljiv sa [inlmath]6[/inlmath] on mora biti deljiv sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]3[/inlmath]. E, sad, kako transformisati imenilac da bi bilo izvesno da je deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]3[/inlmath]? U opštem slučaju, za osnovnu školu, koristi se činjenica da je među dva uzastopna cela broja sigurno jedan paran tj. deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], među tri uzastopna cela broja barem jedan je paran, a jedan deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] (pa je njihov proizvod deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]), među četiri... Slažem se da su iskomplikovali malo, ali ne može se mnogo jednostavnije dobiti željeni proizvod tri uzastopna prirodna broja. Mogli smo jedino drugačije rastaviti brojilac:
[dispmath]n^3+3n^2-4n=n\left(n^2+3n-4\right)=n\left(n^2+4n-n-4\right)=n\bigl(n(n-1)+4(n-1)\bigr)=n(n-1)(n+4)[/dispmath] ([inlmath]3n=4n-n[/inlmath])
znamo da je proizvod [inlmath]n(n-1)[/inlmath] proizvod dva uzastopna prirodna broja, te je on deljiv sa [inlmath]2[/inlmath]. Ostalo je još da dokažemo da je neki od brojeva [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n-1[/inlmath], [inlmath]n+4[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Ako bi [inlmath]n[/inlmath] ili [inlmath]n-1[/inlmath] bilo deljivo sa tri dokaz bi bio završen, zato pretpostavimo da nijedan od tih brojeva nije deljiv sa tri. Znači da je broj [inlmath]n+1[/inlmath] deljiv sa tri (kao treći uzastopni broj u nizu [inlmath]n-1,\;n,\;n+1[/inlmath]), dakle, ako je [inlmath]n+1[/inlmath] deljivo sa tri onda je i [inlmath]n+4[/inlmath] deljivo sa tri čime je dokaz završen.
Ja nemam neko jednostavnije rešenje, moraš pokušati razne rastave izraza koji dobiješ, npr. izvlačenje zajedničkog činioca ispred zagrade, dodavanje-oduzimanje...

Deljivost [inlmath]n^3+3n^2-4n[/inlmath] sa [inlmath]6[/inlmath] može se dokazati i ovako:
[dispmath]n^3+3n^2-4n=n^3+3n^2-3n-n=\left(3n^2-3n\right)+\left(n^3-n\right)=\\
=3n(n-1)+n\left(n^2-1\right)=3n(n-1)+n(n-1)(n+1)[/dispmath] I sad isto kao što je Corba248 već objasnio, sabirak [inlmath]3n(n-1)[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] i deljiv je sa [inlmath]2[/inlmath], samim tim je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], a sabirak [inlmath]n(n-1)(n+1)[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]2[/inlmath] (jer je bar jedan od ta tri faktora paran) i deljiv je sa [inlmath]3[/inlmath] jer je to proizvod tri uzastopna prirodna broja – odakle sledi da je i on deljiv sa [inlmath]6[/inlmath].

Slažem se s Corbom248 da je njihovo rešenje nepotrebno iskomplikovano.

Corba248 je napisao:Prvo, trebalo bi da koristiš Latex radi bolje preglednosti posta. Zaista, da nisi postavio ovaj link ja ne bih pola razumeo šta pitaš. Ubuduće koristi Latex.

Upravo tako. @MisterLija, budući da ti je ovo prvi post i da si lepo postavio pitanje, oprošteno ti je.
Uz dobrodošlicu na naš forum, zamolio bih te i da se upoznaš s Pravilnikom foruma.

Corba248 je napisao:Drugo, ovo nije pitanje iz algebre, već iz teorije brojeva (mada liči na algebru).

Tako je. Premešteno.