MATEMANIJA

Pozdrav svima!

Imam problem u vezi zadatka koji glasi: "Odrediti sve proste brojeve takve da su [inlmath]p^2+4[/inlmath] i [inlmath]p^2+6[/inlmath] prosti."

Naime, krenem sa postavkom da je [inlmath]p=2[/inlmath] i [inlmath]p=3[/inlmath] (kao prosti brojevi) i dobijam da je za [inlmath]2[/inlmath] rezultat [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]10[/inlmath], a za [inlmath]3[/inlmath] je [inlmath]13[/inlmath] i [inlmath]15[/inlmath]. Iz ovoga se dobije samo da [inlmath]3[/inlmath] važi za prvu (jer je [inlmath]13[/inlmath] tj. [inlmath]9+4=13[/inlmath]), ali za drugu ne važi jer je [inlmath]15[/inlmath] složen broj. Onda uzmem [inlmath]6k\pm1[/inlmath] i dobijam da je za prvu [inlmath](6k\pm1)^2+4=\left(36k^2\pm12k+1\right)+4=36k^2\pm12k+5[/inlmath] dok za drugu je [inlmath](6k\pm1)^2+6=\left(36k^2\pm12k+1\right)+6=36k^2\pm12k+7[/inlmath]. Dalje mi nije jasno kako da dokažem da li postoje ti brojevi. Da li u stvari i ima takvih brojeva, ali kada se pogleda broj [inlmath]13[/inlmath] sa početka posta onda ipak ima taj jedan, ali sada da imaju neki koji važe i za jednu i drugu jednakost to ne znam. Inače, prvi put se susrećem sa teorijom brojeva uopšte pa bi mi svaka pomoć dobro došla.

Pozdrav

Možemo to ovako ispisati
Ako je [inlmath]p=2\;\Longrightarrow\;p^2+4=4+4=8[/inlmath] je složen broj, tako da ovo rješenje otpada
Ako je [inlmath]p=3\;\Longrightarrow\;p^2+6=9+6=15[/inlmath] složen broj
Za [inlmath]p=5\;\Longrightarrow\;p^2+4=25+4=29[/inlmath] i [inlmath]p^2+6=25+6=31[/inlmath] su oba prosta broja.
Ako je [inlmath]p>5[/inlmath] prost, tada ćemo razlikovati sljedeće slučajeve:
[inlmath]1)\;p=5k+1[/inlmath] za neko [inlmath]k[/inlmath]
Tada je [inlmath]p^2+4=(5k+1)^2+4=25k^2+10k+1+4=5\left(5k^2+2k+1\right)[/inlmath] očigledno složen broj.
[inlmath]2)\;p=5k+2[/inlmath]
[inlmath]p^2+6=(5k+2)^2+6=25k^2+20k+4+6=5\left(5k^2+4k+2\right)[/inlmath] složen broj.
[inlmath]3)\;p=5k+3[/inlmath]
[inlmath]p^2+6=\left(5k+3\right)^2+6=25k^2+30k+9+6=5\left(5k^2+6k+3\right)[/inlmath] složen broj.
[inlmath]4)\;p=5k+4[/inlmath]
[inlmath]p^2+4=\left(5k+4\right)^2+4=25k^2+40k+16+4=5\left(5k^2+8k+4\right)[/inlmath] složen broj.
Što će reći da je jedino rješenje [inlmath]p=5[/inlmath].

Aha, znači samo da sam uradio i za [inlmath]p=5[/inlmath] došao bi do rješenja. U svakom slučaju shvatio sam postupak i hvala!