MATEMANIJA

Imam sledeci problem
[dispmath]\left(\frac{a+b}{2}\right)^n<\frac{a^n+b^n}{2},\;a>0,\;b>0,\;n\geq2[/dispmath] jasno mi je za osnovni korak i za indukcijsku pretpostavku, medjutim kod dokazivanja za [inlmath]k=n+1[/inlmath] ja sam radio sledece
[dispmath]\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^k\cdot\left(\frac{a+b}{2}\right)[/dispmath] iz indukcijske pretpostavke znam da je ovaj izraz manji od sledeceg
[dispmath]\frac{a^k+b^k}{2}\cdot\frac{a+b}{2}[/dispmath] e sad koliko ja znam ja bih trebao da dobijem da je ovo jednako [inlmath]\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}[/inlmath] ili da je manje od toga medjutim to nikako ne uspijevam. Pokusao sam da koristim dokaz unazad pa da pretpostavim da mi je
[dispmath]\frac{a^{k+1}+a^kb+ab^k+b^{k+1}}{4}<\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}[/dispmath][dispmath]a^{k+1}+a^kb+ab^k+b^{k+1}<2a^{k+1}+2b^{k+1}[/dispmath] i konacno dodjem do ovoga
[dispmath]a^kb+ab^k<a^{k+1}+b^{k+1}[/dispmath] e sad ovdje sam stao i ne znam sta dalje, ako bi ovo dokazao onda bi trebalo da vaze i sve pretpostavke ako se ne varam. Ako bi neko mogao da mi pomogne ovdje, sta dalje ili sta sam ranije pogrijesio u svemu pomogao bi mi mnogo

Pozdrav. Pre svega, u samoj postavci zadatka postoji jedan propust. Nejednakost [inlmath]\left(\frac{a+b}{2}\right)^n<\frac{a^n+b^n}{2}[/inlmath] nije tačna kada je [inlmath]a=b[/inlmath], jer su tada leva i desna strana date nejednakosti – jednake. Znači, ili bi trebalo postaviti dodatni uslov [inlmath]a\ne b[/inlmath], ili bi trebalo u nejednakosti umesto [inlmath]<[/inlmath] koristiti znak [inlmath]\le[/inlmath].

Kada si (sasvim ispravno) došao do [inlmath]a^kb+ab^k<a^{k+1}+b^{k+1}[/inlmath], možeš sabirke pregrupisati tako da dobiješ [inlmath]a^{k+1}-a^kb>ab^k-b^{k+1}[/inlmath], tj. [inlmath]a^k(a-b)>b^k(a-b)[/inlmath]. I sad imaš dva slučaja, [inlmath]a>b[/inlmath] i [inlmath]a<b[/inlmath] (kao što napisah, ako ostavimo da u prvobitnoj nejednakosti važi stroga nejednakost, tada ne sme biti [inlmath]a=b[/inlmath]).

• Za slučaj [inlmath]a>b[/inlmath], faktor [inlmath](a-b)[/inlmath] je pozitivan, te se smer znaka nejednakosti ne menja ako obe strane podelimo sa [inlmath](a-b)[/inlmath]. Ostaje [inlmath]a^k>b^k[/inlmath]. Pošto je [inlmath]k[/inlmath] pozitivno i po pretpostavci je [inlmath]a>b[/inlmath], sledi i da je nejednakost [inlmath]a^k>b^k[/inlmath] tačna.
• Za slučaj [inlmath]a<b[/inlmath], faktor [inlmath](a-b)[/inlmath] je negativan, te se smer znaka nejednakosti menja ako obe strane podelimo sa [inlmath](a-b)[/inlmath]. Ostaje [inlmath]a^k<b^k[/inlmath]. Pošto je [inlmath]k[/inlmath] pozitivno i po pretpostavci je [inlmath]a<b[/inlmath], sledi i da je nejednakost [inlmath]a^k<b^k[/inlmath] tačna.

Inače, nejednakost [inlmath]\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\le\frac{a^n+b^n}{2}[/inlmath] predstavlja jednu od nejednakosti između brojevnih sredina – konkretno, između aritmetičke i stepene sredine (pretpostavljam da se na našem jeziku kaže stepena sredina, na engleskom se to kaže power mean, kao opštiji slučaj kvadratne sredine – quadratic mean).

Izvinjavam se ako postavka zadatka nije dobra kao sto si primjetio, zbirka mi je kopirana i dosta stara pa je vjerovatno moja greska. Hvala na detaljnom objasnjenju.