MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 14. jun 2014.
12. zadatak

Ako je [inlmath]n[/inlmath] najveći prirodni broj takav da [inlmath]5^n|2014![/inlmath] onda je cifra jedinica broja [inlmath](n-7)^{2014}[/inlmath]

Rešenje je [inlmath]4[/inlmath], shvatam da moramo naći broj [inlmath]n[/inlmath] pa zatim videti prvih nekoliko stepena, dok se cifre jedinica ne ponavljaju, ali ne znam kako da započnem...

Nisi tacno prepisao zadatak. Nije [inlmath]5n|2014![/inlmath], vec [inlmath]5^n|2014![/inlmath].

Ja bih rekao da je rešenje [inlmath]6[/inlmath], a možeš započeti tako što ćeš odrediti prvo broj brojeva koji su deljivi sa [inlmath]5[/inlmath] nakon što [inlmath]2014![/inlmath] napišeš kao [inlmath]2014\cdot2013\cdots2\cdot1[/inlmath] (kad kažem brojeve deljive sa [inlmath]5[/inlmath] mislim u ovom proizvodu), a zatim tom broju dodaš one deljive sa [inlmath]5^2=25[/inlmath], pa sa [inlmath]125[/inlmath] itd. U suštini nalaženje broja [inlmath]n[/inlmath] se svodi na Ležandrovu formulu koju sam ovde pominjao.

Da, rešenje je [inlmath]6[/inlmath], što sam čak i softverski proverio. U originalnom PDF-u s kojeg sam prekucavao odgovore naznačen je pogrešan odgovor. Uneo sam ispravku.

Ispravio sam i tvoj post, @Djole1611 – između [inlmath]5n[/inlmath] i [inlmath]5^n[/inlmath] ogromna je razlika.

Rešenje zadatka

Tražimo cifru jedinica broja [inlmath](n-7)^{2014}[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] najveći prirodni broj takav da [inlmath]5^n\mid2014![/inlmath].

• Korak 1: Izračunavanje [inlmath]n[/inlmath]
  Primena Ležandrove formule:
  [inlmath]n=\lfloor2014/5\rfloor+\lfloor2014/5^2\rfloor+\lfloor2014/5^3\rfloor+\lfloor2014/5^4\rfloor[/inlmath]
  [inlmath]n=402+80+16+3=501[/inlmath]
  Dakle, [inlmath]n=501[/inlmath].
  
• Korak 2: Osnova izraza
  [inlmath]n-7=501-7=494[/inlmath].
  
• Korak 3: Poslednja cifra [inlmath]494^{2014}[/inlmath]
  Ciklus poslednje cifre za bazu [inlmath]4[/inlmath]:
  
  • [inlmath]4^1[/inlmath] završava cifrom [inlmath]4[/inlmath]
  • [inlmath]4^2[/inlmath] završava cifrom [inlmath]6[/inlmath]
  • [inlmath]4^3[/inlmath] završava cifrom [inlmath]4[/inlmath]
  • [inlmath]4^4[/inlmath] završava cifrom [inlmath]6[/inlmath]
  Period je [inlmath]2[/inlmath]: paran eksponent → poslednja cifra je [inlmath]6[/inlmath], neparan → [inlmath]4[/inlmath].
  Pošto je eksponent [inlmath]2014[/inlmath] paran, poslednja cifra je [inlmath]\large6[/inlmath].
  
• Zaključak
  Cifra jedinica traženog broja je [inlmath]\large6[/inlmath].