MATEMANIJA

Pozdrav. Naime, naišao sam na zadatak u kom se traži za prost broj [inlmath]p>3[/inlmath] da dokažem da važi [inlmath]24 | p^2 - 1[/inlmath]. I u principu, znam da ga rešim- svedem ga na [inlmath]24 | (p-1)(p+1)[/inlmath], i odatle se vidi da je proizvod deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath].

Pitanje: Meni se onda kao jedini način da se ovo reši nameće da ako je proizvod [inlmath](p-1)(p+1)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath], onda mora biti deljiv sa proizvodom tih brojeva [inlmath]2\cdot3\cdot4=24[/inlmath]. I to bi rešilo zadatak, ali se ja zapitam zašto bi to bilo tako- na primer, broj [inlmath]12[/inlmath] deljiv je sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]4[/inlmath], ali nije deljiv sa proizvodom tih brojeva, to jest sa [inlmath]2\cdot4=8[/inlmath]?


Hvala najlepše na odgovoru!

Nije dovoljno da proizvod [inlmath](p-1)(p+1)[/inlmath] bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] (pre svega, ako je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], onda automatski mora biti deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath], zar ne?)
Potrebno je pokazati da je taj proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]8[/inlmath].
Pošto je [inlmath]p[/inlmath] prost broj veći od [inlmath]3[/inlmath] (a samim tim i neparan), to su [inlmath](p-1)[/inlmath] i [inlmath](p+1)[/inlmath] parni, tj. deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], to je jasno. A pošto su to dva uzastopna parna broja, jasno je i da jedan od njih (i samo jedan) mora biti deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Dakle, jedan je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], drugi je još deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], prema tome, proizvod je deljiv sa [inlmath]8[/inlmath].
Ako treba nešto striktniji dokaz, pretpostavi da jedan od ta dva činioca, npr. [inlmath](p-1)[/inlmath], nije deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Tj. [inlmath](p-1)[/inlmath] je oblika [inlmath]4k+2[/inlmath] ([inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]). Tada je [inlmath]p[/inlmath] oblika [inlmath]4k+3[/inlmath], pa je drugi činilac, [inlmath](p+1)[/inlmath], oblika [inlmath]4k+4[/inlmath], tj. deljiv je sa [inlmath]4[/inlmath].