MATEMANIJA

Dokazati da za sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] [inlmath](n\ge2)[/inlmath] vazi [inlmath]\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n-1}{n!}=1-\frac{1}{n!}[/inlmath].
[inlmath]I[/inlmath] - Baza indukcije: [inlmath]P(2)\rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/inlmath]
[inlmath]II[/inlmath] - Indukcijska pretpostavka [inlmath]P(n)\Rightarrow P(n+1)[/inlmath]
[dispmath]\underbrace{\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n-1}{n!}}_{1-\frac{1}{n!}}+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath][dispmath]\cancel1-\frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}=\cancel1-\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath][dispmath]\frac{(n+1)!+n\cdot n!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath][dispmath]\frac{\cancel{n!}(2n+1)}{\cancel{n!}(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath] Očigledno je da leva i desna strana nisu iste, al' ne vidim gde grešim.

Frank je napisao:[dispmath]\cancel1-\frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}=\cancel1-\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath][dispmath]\frac{(n+1)!+n\cdot n!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath]

Greška ti je u ovom koraku. Pokratio si minuse, a ovaj plus na levoj strani ti je ostao. Kada on pređe u minus dobije se tačno rešenje.

A i zar ti nije bilo lakše da, umesto množenja imenilaca,

Frank je napisao:[dispmath]\cancel1-\frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}=\cancel1-\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath][dispmath]\frac{(n+1)!+n\cdot n!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath]

lepo [inlmath]\frac{1}{n!}[/inlmath] pomnožiš sa [inlmath]\frac{n+1}{n+1}[/inlmath] pa dobiješ
[dispmath]-\frac{n+1}{(n+1)!}+\frac{n}{(n+1)!}=-\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath][dispmath]\frac{\cancel{-n}-1+\cancel n}{(n+1)!}=-\frac{1}{(n+1)!}[/dispmath]