MATEMANIJA

Našao sam jedan zadatak i zanima me postoji li neko pravilo za rešavanje?
Zadatak ide ovako: Poslednja cifra broja [inlmath]2003^{2003}[/inlmath] je?
Rešenje je [inlmath]7[/inlmath].
Hvala unapred.

Ideja je sledeća: [inlmath]2003^1[/inlmath] - završava se cifrom [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]2003^2[/inlmath] - završava se cifrom [inlmath]9[/inlmath], [inlmath]2003^3[/inlmath] - završava se cifrom [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]2003^4[/inlmath] - završava se cifrom [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2003^5[/inlmath] - završava se cifrom [inlmath]3[/inlmath].
Iz ovoga mozemo zaključiti da se poslednja cifra broja [inlmath]2003^n[/inlmath] ponavlja posle svakih pet koraka (ako ne veruješ uzmi računaj, pa proveri). Posto se poslednja cifra ponavlja posle petog koraka [inlmath]2003[/inlmath] delimo sa [inlmath]5[/inlmath]. Ostatak je [inlmath]3[/inlmath] pa mozemo zaključiti da se [inlmath]2003^{2003}[/inlmath] završava cifrom [inlmath]7[/inlmath].

Kod ovakvih zadataka nije preterano bitno što su baza i eksponent jednaki. Bitna je poslednja cifra baze (u ovom slučaju [inlmath]3[/inlmath]). Kada dignemo na prvi stepen, poslednja cifra će biti (svakako) [inlmath]3[/inlmath]. Ako dignemo na drugi stepen, poslednja cifra će biti [inlmath]9[/inlmath]. Nebitno je šta je ispred, cifra jedinica u rezultatu će se uvek dobiti kada prethodni rezultat pomnožimo sa [inlmath]3[/inlmath]. Na sličan način dobijamo za poslednju cifru trećeg stepena [inlmath]7[/inlmath], a za poslednju cifru četvrtog stepena [inlmath]1[/inlmath], posle čega se ove četiri cifre ciklično ponavljaju. Sada posmatramo obilk eksponenta ([inlmath]k\in\mathbb{N}_0[/inlmath]):

Ako je eksponent oblika [inlmath]4k+1[/inlmath], poslednja cifra rezultata je [inlmath]3[/inlmath].
Ako je eksponent oblika [inlmath]4k+2[/inlmath], poslednja cifra rezultata je [inlmath]9[/inlmath].
Ako je eksponent oblika [inlmath]4k+3[/inlmath], poslednja cifra rezultata je [inlmath]7[/inlmath].
Ako je eksponent oblika [inlmath]4k[/inlmath], poslednja cifra rezultata je [inlmath]1[/inlmath].

U ovom slučaju [inlmath]2003=4\cdot500+3[/inlmath], pa je poslednja cifra [inlmath]7[/inlmath].

EDIT: @Frank me je preduhitrio sa odgovorom, ali neka ga i moj post. Ako ove godine bude sličan zadatak, mislim da je očigledno kojom cifrom se završava [inlmath]2020^{2020}[/inlmath]. Naravno, to nikako ne znači da treba preskakati ovakve zadatke u pripremi kontrolnog/pismenog/prijemnog.

Hvala vam, uspeo sam da shvatim
Samo ako može u naslovu da se promeni FTN u FON, pogrešio sam slučajno.

miletrans je napisao:Kod ovakvih zadataka nije preterano bitno što su baza i eksponent jednaki. Bitna je poslednja cifra baze (u ovom slučaju [inlmath]3[/inlmath]).

Ovo se može i formalno dokazati za bilo koji broj koji se završava trojkom (i koji je, samim tim, jednak [inlmath]10p+3[/inlmath], [inlmath]p\in\mathbb{N_0}[/inlmath]):
[dispmath](10p+3)^n={n\choose0}10^np^n+\cdots+{n\choose k}10^{n-k}p^{n-k}\cdot3^k+\cdots+{n\choose n-1}10p\cdot3^{n-1}+{n\choose n}\cdot3^n[/dispmath] odakle se vidi da svi sabirci izuzev poslednjeg sadrže faktor [inlmath]10[/inlmath] pa se, samim tim, završavaju nulom. Znači, ukupan zbir će se završavati onom cifrom kojom se završava poslednji sabirak, [inlmath]3^n[/inlmath].

miletrans je napisao:Ako je eksponent oblika [inlmath]4k+1[/inlmath], poslednja cifra rezultata je [inlmath]3[/inlmath].

Takođe, formalan dokaz:
[dispmath](10p+3)^{4k+1}=\left[(10p+3)^4\right]^k\cdot(10p+3)[/dispmath] Pošto je poslednja cifra broja [inlmath](10p+3)^4[/inlmath], kako je već dokazano, jednaka poslednjoj cifri broja [inlmath]3^4[/inlmath], a to je jedinica, sledi da će i poslednja cifra broja [inlmath]\left[(10p+3)^4\right]^k[/inlmath] biti jedinica. Prema tome, izraz se svodi na
[dispmath](10q+1)\cdot(10p+3)=100pq+10p+30q+3=10(10pq+p+3)+3[/dispmath] odakle se vidi da će poslednja cifra ovog izraza biti [inlmath]3[/inlmath].
Analogno se dokazuje i za ostale slučajeve.

miletrans je napisao:Ako ove godine bude sličan zadatak, mislim da je očigledno kojom cifrom se završava [inlmath]2020^{2020}[/inlmath].

Upravo zbog toga mislim i da je, zbog jednostavnosti, vrlo mala verovatnoća da će se ovaj zadatak (s izmenjenim brojem) pojaviti u bilo kojoj godini koja se završava cifrom [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]6[/inlmath]. Što ne znači, kako je i miletrans napomenuo, da ne treba i ovaj zadatak proraditi.

miljan1403 je napisao:Samo ako može u naslovu da se promeni FTN u FON, pogrešio sam slučajno.

Ispravljeno.