MATEMANIJA

Dokazati da [inlmath]1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}[/inlmath] vrijedi za [inlmath]n\ge2,\;n\in\mathbb{N}[/inlmath].

Uradio sam za [inlmath]n=2[/inlmath], pretpostavio da je tačno za [inlmath]n=k,\;n\in\mathbb{N}[/inlmath] i počeo dokazivati da vrijedi za [inlmath]n=k+1[/inlmath].

Došao sam do koraka gdje je

[inlmath]2\sqrt k+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1}[/inlmath]

i ne znam kako ovo da dokazem.

Pomnoži obe strane sa [inlmath]\sqrt{k+1}[/inlmath], pa prebaci jedinicu na desnu stranu i dalje ne bi trebalo da bude problema (naravno, ako bude problema, reci). Posao je dosta olakšan činjenicom da su obe strane nejednakosti uvek pozitivne i da je [inlmath]k+1[/inlmath] uvek pozitivno.

Dobijem [inlmath]0<1[/inlmath]. To je konacno rjesenje, zar ne?

Tako je.