MATEMANIJA

Opštinsko takmičenje 2019.
3. zadatak za 3B tj. 3. zadatak na 7. strani

Tekst zadatka:
Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] prirodni brojevi za koje važi [inlmath]\text{NZD}(a,b)=10[/inlmath] i [inlmath]\text{NZD}(a,b+2)=12[/inlmath]. Izračunati
[dispmath]\text{NZD}(a,2b)+\text{NZD}(a,3b).[/dispmath]

---

Zvanično rešenje:
Iz [inlmath]\text{NZD}(a,b)=10[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]5[/inlmath] najveći neparan zajednički delilac za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], pa je [inlmath]5[/inlmath] najveći neparan zajednički delilac i za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]2b[/inlmath]. Dakle, da bismo izračunali [inlmath]\text{NZD}(a,2b)[/inlmath], treba još utvrditi najveći stepen dvojke koji deli i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]2b[/inlmath]. Iz [inlmath]\text{NZD}(a,b)=10[/inlmath] zaključujemo da su brojevi [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], ali nisu oba sa [inlmath]4[/inlmath]. S druge strane, iz [inlmath]\text{NZD}(a,b+2)=12[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]a[/inlmath] deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], pa [inlmath]b[/inlmath] nije deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Dakle, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]2b[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]4[/inlmath], ali [inlmath]2b[/inlmath] nije deljiv sa [inlmath]8[/inlmath], pa sledi [inlmath]\text{NZD}(a,2b)=4\cdot5=20[/inlmath].
Slično, iz [inlmath]\text{NZD}(a,b)=10[/inlmath] sledi da [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] nisu istovremeno deljivi sa [inlmath]3[/inlmath], a iz [inlmath]\text{NZD}(a,b+2)=12[/inlmath] sledi da je [inlmath]a[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], onda [inlmath]b[/inlmath] nije deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Dakle, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]3b[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]3[/inlmath], ali [inlmath]3b[/inlmath] nije deljiv sa [inlmath]9[/inlmath], pa iz toga i [inlmath]\text{NZD}(a,b)=10[/inlmath] dobijamo [inlmath]\text{NZD}(a,3b)=30[/inlmath].
Dakle, [inlmath]\text{NZD}(a,2b)+\text{NZD}(a,3b)=20+30=50[/inlmath].

---

Moje rešenje: iz prvog uslova direktno sledi [inlmath]10\vert a\;\land\;10\vert b[/inlmath]. Dalje, drugi uslov daje i [inlmath](12\vert a)\;\land\;(b=12y-2)[/inlmath]. Znači [inlmath]60\vert a[/inlmath]. Moglo bi se zapisati i [inlmath]10x=12y-2[/inlmath] ([inlmath]b[/inlmath] izražen iz prve i druge jednakosti). Skratimo sa [inlmath]2[/inlmath] i ostane nam [inlmath]x=\frac{6y-1}{5}[/inlmath].
Broj [inlmath]x[/inlmath] će biti ceo [inlmath]akko[/inlmath] se [inlmath]y[/inlmath] završava ciframa [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]6[/inlmath], odnosno cifra jedinica broja [inlmath]x[/inlmath] je neparna što znači da je [inlmath]10[/inlmath] najveći delilac broja [inlmath]b[/inlmath] koji se sadrži u [inlmath]60[/inlmath].
Dakle, [inlmath]\text{NZD}(a,2b)=\text{NZD}(60,20)=20[/inlmath] i [inlmath]\text{NZD}(a,3b)=\text{NZD}(60,30)=30[/inlmath], pa je zbir [inlmath]50[/inlmath] kao i u zvaničnom rešenju.

---

Bio bih zahvalan kada bi neko proverio ovo da li je matematički tačno.

ognjentesic je napisao:Broj [inlmath]x[/inlmath] će biti ceo [inlmath]akko[/inlmath] se [inlmath]y[/inlmath] završava ciframa [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]6[/inlmath], odnosno cifra jedinica broja [inlmath]x[/inlmath] je neparna što znači da je [inlmath]10[/inlmath] najveći delilac broja [inlmath]y[/inlmath] koji se sadrži u [inlmath]60[/inlmath].

Ako se [inlmath]y[/inlmath] završava ciframa [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]6\;[/inlmath] [inlmath]\Rightarrow\;10\not\mid y[/inlmath].

Izvinjavam se, pogrešio sam.
Trebalo bi: najveći delilac broja [inlmath]b[/inlmath] koji se sadrži u [inlmath]60[/inlmath].

ognjentesic je napisao:i ostane nam [inlmath]x=\frac{6y-1}{5}[/inlmath].
Broj [inlmath]x[/inlmath] će biti ceo [inlmath]akko[/inlmath] se [inlmath]y[/inlmath] završava ciframa [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]6[/inlmath], odnosno cifra jedinica broja [inlmath]x[/inlmath] je neparna što znači da je [inlmath]10[/inlmath] najveći delilac broja [inlmath]b[/inlmath] koji se sadrži u [inlmath]60[/inlmath].

Ako može pojašnjenje za ovaj deo, nisam siguran da sam ga najbolje razumeo. Zar ne bi trebalo, osim ispitivanja da li je [inlmath]2|x[/inlmath] (što si i uradio ispitivanjem parnosti), ispitati i [inlmath]3|x[/inlmath]? A drugo, zar to što je [inlmath]10[/inlmath] najveći delilac broja [inlmath]b[/inlmath] koji se sadrži u [inlmath]60[/inlmath] ne sledi direktno već iz [inlmath]\text{NZD}(a,b)=10[/inlmath] i [inlmath]60|a[/inlmath]?