MATEMANIJA

U dokazivanju da je broj djeljiv s nekim brojem, u koraku indukcije piše

[inlmath]=5\cdot 5^k+2\cdot 2^{k+1}[/inlmath]
[inlmath]=5\left(5^k+2^{k+1}\right){\color{red}-3\cdot 2^{k+1}}[/inlmath]

Kužim da je poanta u zagradama postaviti brojeve iste ka u pretpostavci indukcije jer automatski znamo da su djeljivi s brojem koji se traži, u ovom slučaju [inlmath]3[/inlmath], ali ovaj ostatak me buni...

Ili u drugom zadatku

[inlmath]P.I.[/inlmath]
[inlmath]2^{12k+4}-3^{6k+1}[/inlmath]

[inlmath]K.I.[/inlmath]
[inlmath]n=k+1[/inlmath]
[inlmath]2^{12k+16}-3^{6k+7}[/inlmath]
[inlmath]=2^{12}\cdot 2^{12k+4}-3^{6k+7}[/inlmath]
[inlmath]=2^{12}\left(2^{12+4}-3^{6k+1}\right)[/inlmath]

Hm?

Znači, pretpostavio si da je [inlmath]5^k+2^{k+1}[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. Uvrštavanjem [inlmath]k+1[/inlmath] umesto [inlmath]k[/inlmath] dobio si izraz [inlmath]5\cdot 5^k+2\cdot 2^{k+1}[/inlmath] i treba da dokažeš da je on, pri važećoj pretpostavci, deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. To možeš učiniti na dva načina.

[inlmath]I[/inlmath] način:
[dispmath]5\cdot 5^k+2\cdot 2^{k+1}=3\cdot 5^k+2\cdot 5^k+2\cdot 2^{k+1}=3\cdot 5^k+2\left(5^k+2^{k+1}\right)[/dispmath]
[inlmath]3\cdot 5^k[/inlmath] je deljivo trojkom jer je to proizvod trojke i celog broja, a [inlmath]2\left(5^k+2^{k+1}\right)[/inlmath] je deljivo trojkom jer je to proizvod celog broja (u ovom slučaju broja [inlmath]2[/inlmath]) i izraza [inlmath]5^k+2^{k+1}[/inlmath] koji je, po indukcijskoj pretpostavci, deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Zbir dva broja koja su deljiva trojkom, takođe je deljiv trojkom.

[inlmath]II[/inlmath] način (ovaj na koji ste vi radili):
[dispmath]5\cdot 5^k+2\cdot 2^{k+1}=5\cdot 5^k+5\cdot 2^{k+1}-3\cdot 2^{k+1}=5\left(5^k+2^{k+1}\right)-3\cdot 2^{k+1}[/dispmath]
[inlmath]5\left(5^k+2^{k+1}\right)[/inlmath] je deljivo trojkom jer je to proizvod celog broja (u ovom slučaju broja [inlmath]5[/inlmath]) i izraza [inlmath]5^k+2^{k+1}[/inlmath] koji je, po indukcijskoj pretpostavci, deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], a [inlmath]3\cdot 2^{k+1}[/inlmath] je deljivo trojkom jer je to proizvod trojke i celog broja. Razlika dva broja koja su deljiva trojkom, takođe je deljiva trojkom.

---

U drugom zadatku nisi napisao šta treba dokazati
Zasad jedino vidim da poslednji red nije tačan, jer [inlmath]2^{12}\cdot 2^{12k+4}-3^{6k+7}\ne 2^{12}\left(2^{12+4}-3^{6k+1}\right)[/inlmath]

Ma u posljednjem redu treba namištat još ostatak da bude indentično pretposljednjem i provjerit je li djeljivo sa [inlmath]13[/inlmath], samo ne znan :/
[inlmath]2^{12k+16}-3^{6k+7}[/inlmath]
[inlmath]2^{12}\cdot 2^{12k+4}-3^6\cdot 3^{6k+1}[/inlmath]
[inlmath]2^{12}\left(2^{12k+4}-3^{6k+1}\right)+3^{6k+1}\cdot\left(2^{12}-3^6\right)[/inlmath]

Prvi dio je djeljiv s [inlmath]13[/inlmath], drugi je isto radi broja [inlmath]3367[/inlmath] i to je to?

Isto imaš dva načina:

[inlmath]I[/inlmath] način:
[dispmath]2^{12}\cdot 2^{12k+4}-3^6\cdot 3^{6k+1}=\underbrace{\left(2^{12}-3^6\right)}_{3367}\cdot 2^{12k+4}+3^6\cdot 2^{12k+4}-3^6\cdot 3^{6k+1}=[/dispmath][dispmath]=3367\cdot 2^{12k+4}+3^6\left(2^{12k+4}-3^{6k+1}\right)=13\cdot 259\cdot 2^{12k+4}+3^6\left(2^{12k+4}-3^{6k+1}\right)[/dispmath]
[inlmath]13\cdot 259\cdot 2^{12k+4}[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]13[/inlmath] jer je to proizvod broja [inlmath]13[/inlmath] i celog broja, a [inlmath]3^6\left(2^{12k+4}-3^{6k+1}\right)[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]13[/inlmath] jer je to proizvod celog broja (u ovom slučaju broja [inlmath]3^6[/inlmath]) i izraza [inlmath]2^{12k+4}-3^{6k+1}[/inlmath] koji je, po indukcijskoj pretpostavci, deljiv sa [inlmath]13[/inlmath]. Zbir dva broja koja su deljiva sa [inlmath]13[/inlmath], takođe je deljiv sa [inlmath]13[/inlmath].

[inlmath]II[/inlmath] način:
[dispmath]2^{12}\cdot 2^{12k+4}-3^6\cdot 3^{6k+1}=2^{12}\cdot 2^{12k+4}-2^{12}\cdot 3^{6k+1}+\underbrace{\left(2^{12}-3^6\right)}_{3367}\cdot 3^{6k+1}=[/dispmath][dispmath]=2^{12}\left(2^{12k+4}-3^{6k+1}\right)+3367\cdot 3^{6k+1}=2^{12}\left(2^{12k+4}-3^{6k+1}\right)+13\cdot 259\cdot 3^{6k+1}[/dispmath]
[inlmath]2^{12}\left(2^{12k+4}-3^{6k+1}\right)[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]13[/inlmath] jer je to proizvod celog broja (u ovom slučaju broja [inlmath]2^{12}[/inlmath]) i izraza [inlmath]2^{12k+4}-3^{6k+1}[/inlmath] koji je, po indukcijskoj pretpostavci, deljiv sa [inlmath]13[/inlmath], a [inlmath]13\cdot 259\cdot 3^{6k+1}[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]13[/inlmath] jer je to proizvod broja [inlmath]13[/inlmath] i celog broja. Zbir dva broja koja su deljiva sa [inlmath]13[/inlmath], takođe je deljiv sa [inlmath]13[/inlmath].


* EDIT * Sad vidim da si, dok sam ti pisao odgovor, editovao svoj post. Da, tako je, ti si radio na ovaj drugi način koji sam pokazao.