MATEMANIJA

* MOD EDIT * Zadatak izdvojen iz ove teme – tačka 10. Pravilnika

Ovih dana rjesavam zadatke za pripremu za takmicenje i naletim na ova dva (III razred)

[inlmath]2.[/inlmath] Odredi prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] tako da je [inlmath]n^4+n^3+n^2+n+1[/inlmath] potpun kvadrat. Za ovaj nisam imao ideje.

Primena nejednakosti;

[inlmath](2n^2+n)^2 = 4n^4+4n^3+n^2[/inlmath]

[inlmath](2n^2+n+1)^2 = 4n^4+4n^3+5n^2+2n+1[/inlmath]

Dva uzastopna kvadrata, broj [inlmath]4(n^4+n^3+n^2+n+1)[/inlmath] je između njih, .....
Mislim da je odgovor [inlmath]n=3[/inlmath].

Možeš samo jos malo pojasniti ovo oko dva uzastopna kvadrata. Hvala

U skupu prirodnih brojeva rešiti jednačinu

[inlmath]n^4+n^3+n^2+n+1=x^2[/inlmath]

ekvivalentno je sa jednačinom

[inlmath]4(n^4+n^3+n^2+n+1)=(2x)^2[/inlmath]

Slučajeve [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]n=2[/inlmath] proverom eliminišeš i ostaju slučajevi [inlmath]n≥3[/inlmath]. Dalje je:

[inlmath](2n^2+n)^2+(3n^2+4n+4)=4(n^4+n^3+n^2+n+1)=(2n^2+n+1)^2-(n^2-2n-3)[/inlmath]

Radi jednostavnijeg zapisa neka je [inlmath]a=(2n^2+n)[/inlmath] i onda poslednja jednakost glasi:

[inlmath]a^2+(3n^2+4n+4)=(2x)^2=(a+1)^2-(n^2-2n-3)[/inlmath]

Kako je [inlmath]n≥3[/inlmath] to je [inlmath]3n^2+4n+4>0[/inlmath] i [inlmath]n^2-2n-3≥0[/inlmath], pa je:

[inlmath]a^2<(2x)^2≤(a+1)^2[/inlmath]

Kako su u pitanju prirodni brojevi to je

[inlmath](2x)^2=(a+1)^2[/inlmath]

za neko [inlmath]n[/inlmath], a tada je [inlmath]n^2-2n-3=0[/inlmath]. Rešenja poslednje jednačine su [inlmath]n=-1[/inlmath] i [inlmath]n=3[/inlmath]. Prvo otpada jer [inlmath]n∈N[/inlmath]. Dakle,

[inlmath]3^4+3^3+3^2+3+1=11^2[/inlmath]

MATEMANIJA

Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Re: Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Re: Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Re: Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje